淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力

時間：2022-10-08 06:56:52 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文我要投稿

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　　在數(shù)論中，數(shù)學(xué)歸納法是以一種不同的方式來證明無窮序列情形都是正確的(第一個,第二個，第三個，一直下去概不例外)的數(shù)學(xué)定理。下面是YJBYS提供的一篇關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力的探討論文，歡迎閱讀指教!

淺談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力

　　摘要：數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的證明方法之一，也是一種特殊的論證方法，它在數(shù)學(xué)各個分支都有著廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)學(xué)習過程中歸納法應(yīng)用一直是教師教學(xué)的一個主要手段之一，其思想與方法可以有多方面的體現(xiàn)，在學(xué)習應(yīng)用當中具有較深遠的意義。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法思想應(yīng)用能力

　　引言

　　歸納法，即通過對一些特例或簡單情形進行觀察與綜合以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的一種科學(xué)思維方法，其基礎(chǔ)在于實踐與觀察，被著名的美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞稱為科學(xué)家處理經(jīng)驗的方法.作為數(shù)學(xué)研究的基本方法之一，歸納法常用于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，其過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造與再創(chuàng)造過程.歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法.不完全歸納法是根據(jù)事物的部分特例得出一般結(jié)論的推理方法，其結(jié)論不一定可靠.而完全歸納法是一種研究事件的所有特殊情況后得出的推理方法，且得出的結(jié)論是可靠的.因此，當涉及的問題是與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時，先用不完全歸納法猜想規(guī)律，后用完全歸納法證明其正確性.數(shù)學(xué)歸納法的精妙之處在于用兩個命題的證明代替了無數(shù)個命題的證明，充分體現(xiàn)了有限與無限的辯證關(guān)系.在教學(xué)中，學(xué)生往往機械地套用兩個步驟解題，對數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)涵缺乏真正的理解.本文結(jié)合自己的對數(shù)學(xué)歸納法思想的理解實踐，淺談數(shù)學(xué)中的歸納法思想及其應(yīng)用。

　　1、數(shù)學(xué)歸納法的概念

　　數(shù)學(xué)歸納法(Mathematical Inducaion，通常簡稱為MI)是一種數(shù)學(xué)證明方法，經(jīng)常被用于證明某個給定命題在整個(或者局部)自然數(shù)范圍內(nèi)成立。除了自然數(shù)以外，廣泛意義上的數(shù)學(xué)歸納法也可以用于證明一般良基結(jié)構(gòu)，比如:集合論中的樹。這種廣義的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用十數(shù)學(xué)邏輯和計算機科學(xué)領(lǐng)域，稱作結(jié)構(gòu)歸納法。盡管數(shù)學(xué)歸納法的名字中有“歸納”二字，但不嚴謹?shù)臍w納推理法不包括數(shù)學(xué)歸納法在內(nèi)，它是屬十完全嚴謹?shù)难堇[推理法。

　　該方法主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用來證明數(shù)列通項公式和等式成立成立。最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當n屬于所有正整數(shù)時一個表達式成立。最早使用數(shù)學(xué)歸納法來證明的的人是Maurolic，他利用遞推關(guān)系巧妙的證明出了前n個奇數(shù)的總和是n2，由此揭開了數(shù)學(xué)歸納法之謎。

　　2、數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)

　　一般地說，數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟可以概括為:

　　(1)證明當n =n。時命題成立;

　　(2)假設(shè)當n=k(k n。,k N*)時命題成立，證明當n=k+l時命題也成立.

　　根據(jù)(1)和(2)，可以斷定命題對于從n。開始的所有自然數(shù)n都成立.

　　用數(shù)學(xué)歸納法證明時，為什么完成了上述兩個步驟后，就可以斷定命題對于從n。開始的所有自然數(shù)n都成立呢?

　　這是學(xué)生的迷惑之處，教師要把這個問題講透.因為用數(shù)學(xué)歸納法證明的一般命題包含著無數(shù)多個特殊命題.若將用數(shù)學(xué)歸納法證明的一般命題設(shè)為:己知n , n。k N*，證明結(jié)論M(n)成立，則它包含著無數(shù)多個特殊命題的全體:

　　己知n =n。，證明結(jié)論M(n。)成立; ①

　　己知n =n。+1，證明結(jié)論M(n。 + 1) 成立; ②

　　己知n= n。+2，證明結(jié)論M(n。 + 2) 成立; ③

　　……

　　第二個步驟的作用是證明了命題M(n)的成立對于自然數(shù)n具有傳遞性，即由n=k(k n。, k N*)時結(jié)論M(k)假設(shè)成立，可推得結(jié)論M(k+1)成立.其具體表現(xiàn)是:由①成立，可推得②成立;由②成立，可推得③成立;……

　　因為在第一個步驟中，己經(jīng)證得①成立，再結(jié)合第二個步驟，這樣就說明了無限多個特殊命題都成立，由此推得原命題成立.至此，運用數(shù)學(xué)歸納法證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的原理，應(yīng)該說己經(jīng)直觀明了了.

　　但是，數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟的理論依據(jù)又是什么呢?它源于何處?只有理解數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)，才能凸顯這種證明方法具備理論的嚴密性和應(yīng)用的廣泛性.數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟的理論依據(jù)來源于自然數(shù)集合公理的歸納公理，即如果一個由自然數(shù)組成的集合含有1，又當這個集合含有任一自然數(shù)n時，它也一定含有n的后繼數(shù)，則此集合含有全部自然數(shù).上述公理是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在1889年提出的.根據(jù)歸納公理，我們要證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題P成立，只需證明兩點:先證明命題P對于自然數(shù)n。成立，這是數(shù)學(xué)歸納法的第一步;然后證明假設(shè)命題尸對于k成立，由此推得命題P對于自然數(shù)k+1也成立，這是數(shù)學(xué)歸納法的第二步.由此可見，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，只要完成了上述兩個步驟，就可以斷言命題對于從n。開始的所有自然數(shù)n都成立。

　　3、數(shù)字歸納法的思想本質(zhì)

　　思想反映在人的意識中，是客觀存在，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。現(xiàn)實世界在數(shù)學(xué)里的反映是能動的，數(shù)維能動的自由創(chuàng)造，是來自往常經(jīng)驗的一開始的概念和原理有所意識并合乎邏輯學(xué)思的發(fā)展。數(shù)學(xué)歸納法的演繹推理是在歸納基礎(chǔ)上成立的，演繹推理在數(shù)學(xué)中歸納基礎(chǔ)上的是普遍存在的，并且不僅僅是局在于數(shù)學(xué)歸納法上。比如，在學(xué)習三角形內(nèi)角和定理時，老師經(jīng)常是通過讓學(xué)生先用量角器測量三角形的各個角的度數(shù)，然后再來進行相加。經(jīng)過測量幾個三角形之后，都會得出其三個內(nèi)角之和為180度。這種認識事物的方法稱為歸納法，但是通過此種方法得出來的僅僅是經(jīng)驗，不一定是真理，如果要使歸納出的結(jié)論成為真理，就一定要通過演繹證明。歸納與演繹是對立統(tǒng)一存在的，歸納有利于發(fā)現(xiàn)事物的真理，而演繹則有助于揭示事物其內(nèi)在的聯(lián)系，使我要們認識事物的本質(zhì)，就要和諧地將歸納與演繹這兩種認識世界的基本方法統(tǒng)一在數(shù)學(xué)歸納法之中。

　　4、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

　　用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個步驟和一個結(jié)論.證明第一步是比較容易的，有時只要驗證一下即可.而證明第二步的關(guān)鍵在于:一要充分用好歸納假設(shè);二要做好命題從n =k到n=k+1的遞推轉(zhuǎn)化，這個轉(zhuǎn)化要求從n =k到n=k+1時命題的結(jié)構(gòu)形式不變.在解題過程中，學(xué)生主要存在兩方而的困難，一是當命題從n =k到n=k+1時，若增加的項不是1項，不少學(xué)生不能正確寫出表達式，二是不能靈活進行轉(zhuǎn)化.下而舉例說明用數(shù)學(xué)歸納法證明的思路及一些常用方法。

　　例1 證明: (n N*)。

　　分析當n =1時，命題為真。設(shè)表示原式的左邊，f (n)表示原式的右邊，則原式為= f (n)。命題從n =k到n=k+1遞推轉(zhuǎn)化的途徑是:=.其中=f(k)是歸納假設(shè)，f (k)與f(k+1)的結(jié)構(gòu)形式要相同，因此需要通過恒等變形證明等式f(k)+=f(k + 1)成立。

　　例2 證明:1+(n N*)。

　　分析當n =1時，結(jié)論正確.由分母的變化規(guī)律，當n =k時，原式左邊不是k項，而是有項;當n=k+1時，原式左邊不是k+1項，而是有項。設(shè)表示原式左邊，f (n)表示原式右邊，則命題從n =k到n=k+1轉(zhuǎn)化的途徑是：。其中s(k)=是歸納假設(shè).要使f (k)與f(k+1)的結(jié)構(gòu)形式相同，先將s(k)中的項都換成，再把f(k) + s(k)縮小為f(k)+，從而實現(xiàn)遞推轉(zhuǎn)化.需要指出的是，用數(shù)學(xué)歸納法證明與不等式有關(guān)的命題時，常用基本不等式進行放縮轉(zhuǎn)化。

　　例3 己知為兩兩各不相同的正整數(shù)，證明:對任何正整數(shù)n，有+…+ 。

　　分析當n =1時，命題為真.假設(shè)當n =k時不等式成立，那么當n=k+1時，利用歸納假設(shè)有+…+ .

　　顯然，當時，就能順利轉(zhuǎn)化;而當時，則轉(zhuǎn)化受阻.因為u是兩兩互不相同的正整數(shù)，如果，那么在中必有一個(1)大于或等于k+1，設(shè)法把與交換一下，就能使轉(zhuǎn)化順利進行.具體操作如下:當,因為在中必有一個(1),設(shè)毛:毛k)，設(shè)=+(，顯然，在和式+…+中，因為==，所以可以把和式前面的k項中的替換成，把差額部分放到最后去，其和不變.此時前而k項的分子仍符合兩兩各不相同的正整數(shù)的條件，可以利用歸納假設(shè)遞推轉(zhuǎn)化。

　　例4 證明: +15n一1(n N*)能被9整除。

　　分析當n =1時，命題顯然成立.假設(shè)當n=k(,k N*)時命題為真，那么

　　f(k+1) =+15n一1= f (k)一60k +4+15(k+1)一1=4f(k)一9(5k一2).

　　第一項由歸納假設(shè)能被9整除，第二項顯然能被9整除.故f(k+1)能被9整除，這就是說當n=k+l時命題也為真。

　　由例4可知，一些整除性命題都可以變換成f(k + 1) =A(k)f(k) + B(k)的形式，其中A(k)f(k)是歸納假設(shè)部分，能被正整數(shù)P整除，若B (k)明顯能被P整除，從而推出f (k + 1)能被P整除。

　　5、數(shù)學(xué)歸納思想的重要性

　　隨著社會發(fā)展和工作的需要，在教學(xué)中能力的培養(yǎng)越來越被重視。能力不同與知識，例如，在一類數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習中，學(xué)生懂得數(shù)學(xué)歸納法，知道其具體的步驟和過程，這就是知識。而判斷什么時候用數(shù)學(xué)歸納法，如何區(qū)分構(gòu)造歸納方法更加簡便，這就是能力。學(xué)生能力的大小在于他的思維能力，因此，發(fā)展思維能力，尤其是歸納創(chuàng)造思維能力是培養(yǎng)能力的核心，影視學(xué)生學(xué)會分析、歸納、概括、綜合、演繹、類比、抽象等主要的思維方式。

　　學(xué)生應(yīng)該以學(xué)習為主體，培養(yǎng)學(xué)生綜合歸納、獨立思考的思想，使給與他們的最好的禮物。還要使其養(yǎng)成獨立思考的習慣，不能養(yǎng)成依賴的思想，一旦遇到問題就問。還有運算能力在數(shù)學(xué)歸納思想中也尤為重要，運算是學(xué)習的基本能力，對于數(shù)學(xué)歸納法還有一個突出的問題就是準確性差，算法不合理。數(shù)學(xué)歸納法思想也是種一種綜合能力的體現(xiàn)，是邏輯思維能力與計算技能和技巧的結(jié)合.而且還與記憶能力、歸納能力、推理能力、理解能力、表達能力以及空間想象能力相互之間滲透形成的一種綜合能力。

　　總結(jié)

　　現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)突破了傳統(tǒng)意義科學(xué)知識的約束，逐漸成為一項普遍使用的技術(shù)，與人類生活的各個相關(guān)領(lǐng)域都開始交融，可以說在信息收集、整理、表述、創(chuàng)新、溝通等人類發(fā)展文化中處于關(guān)鍵角色。數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最基本也是最重要的證明方法之一，也是一種特殊的論證方法，它在數(shù)學(xué)各個分支都有著廣泛的應(yīng)用。從數(shù)學(xué)歸納法的思想方法，可以體會到人類思維無限徜徉精靈般的魔力;從數(shù)學(xué)歸納法簡潔證明格式與鎮(zhèn)密周詳過程的辯證統(tǒng)一，可以領(lǐng)悟到哲學(xué)思想無處不在的深刻，這也是數(shù)學(xué)歸納法蘊涵的文化內(nèi)涵。

　　參考文獻：

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　　5、普通高中課程標準實驗教科書選修a-a人教版a版

　　6、高觀點下的初等數(shù)學(xué) 華東師范大學(xué)出版社

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