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淺談數學歸納法的應用能力
在數論中，數學歸納法是以一種不同的方式來證明無窮序列情形都是正確的(第一個,第二個，第三個，一直下去概不例外)的數學定理。下面是YJBYS提供的一篇關于數學歸納法的應用能力的探討論文，歡迎閱讀指教!
摘要：數學歸納法是數學中最基本也是最重要的證明方法之一，也是一種特殊的論證方法，它在數學各個分支都有著廣泛的應用。在數學學習過程中歸納法應用一直是教師教學的一個主要手段之一，其思想與方法可以有多方面的體現，在學習應用當中具有較深遠的意義。
關鍵詞：數學歸納法 思想 應用 能力
引言
歸納法，即通過對一些特例或簡單情形進行觀察與綜合以發現一般規律的一種科學思維方法，其基礎在于實踐與觀察，被著名的美籍匈牙利數學家波利亞稱為科學家處理經驗的方法.作為數學研究的基本方法之一，歸納法常用于數學發現，其過程體現了數學的創造與再創造過程.歸納法分為不完全歸納法和完全歸納法.不完全歸納法是根據事物的部分特例得出一般結論的推理方法，其結論不一定可靠.而完全歸納法是一種研究事件的所有特殊情況后得出的推理方法，且得出的結論是可靠的.因此，當涉及的問題是與自然數有關的數學命題時，先用不完全歸納法猜想規律，后用完全歸納法證明其正確性.數學歸納法的精妙之處在于用兩個命題的證明代替了無數個命題的證明，充分體現了有限與無限的辯證關系.在教學中，學生往往機械地套用兩個步驟解題，對數學歸納法的內涵缺乏真正的理解.本文結合自己的對數學歸納法思想的理解實踐，淺談數學中的歸納法思想及其應用。
1、數學歸納法的概念
數學歸納法(Mathematical Inducaion，通常簡稱為MI)是一種數學證明方法，經常被用于證明某個給定命題在整個(或者局部)自然數范圍內成立。除了自然數以外，廣泛意義上的數學歸納法也可以用于證明一般良基結構，比如:集合論中的樹。這種廣義的數學歸納法應用十數學邏輯和計算機科學領域，稱作結構歸納法。盡管數學歸納法的名字中有“歸納”二字，但不嚴謹的歸納推理法不包括數學歸納法在內，它是屬十完全嚴謹的演繹推理法。
該方法主要用來研究與正整數有關的數學問題，在中學數學中常用來證明數列通項公式和等式成立成立。最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬于所有正整數時一個表達式成立。最早使用數學歸納法來證明的的人是Maurolic，他利用遞推關系巧妙的證明出了前n個奇數的總和是n2，由此揭開了數學歸納法之謎。
2、數學歸納法的理論依據
一般地說，數學歸納法的兩個步驟可以概括為:
(1)證明當n =n。時命題成立;
(2)假設當n=k(k n。,k N*)時命題成立，證明當n=k+l時命題也成立.
根據(1)和(2)，可以斷定命題對于從n。開始的所有自然數n都成立.
用數學歸納法證明時，為什么完成了上述兩個步驟后，就可以斷定命題對于從n。開始的所有自然數n都成立呢?
這是學生的迷惑之處，教師要把這個問題講透.因為用數學歸納法證明的一般命題包含著無數多個特殊命題.若將用數學歸納法證明的一般命題設為:己知n , n。k N*，證明結論M(n)成立，則它包含著無數多個特殊命題的全體:
己知n =n。，證明結論M(n。)成立; ①
己知n =n。+1，證明結論M(n。 + 1) 成立; ②
己知n= n。+2，證明結論M(n。 + 2) 成立; ③
……
第二個步驟的作用是證明了命題M(n)的成立對于自然數n具有傳遞性，即由n=k(k n。, k N*)時結論M(k)假設成立，可推得結論M(k+1)成立.其具體表現是:由①成立，可推得②成立;由②成立，可推得③成立;……
因為在第一個步驟中，己經證得①成立，再結合第二個步驟，這樣就說明了無限多個特殊命題都成立，由此推得原命題成立.至此，運用數學歸納法證明某些與自然數有關的數學命題的原理，應該說己經直觀明了了.
但是，數學歸納法兩個步驟的理論依據又是什么呢?它源于何處?只有理解數學歸納法的理論依據，才能凸顯這種證明方法具備理論的嚴密性和應用的廣泛性.數學歸納法兩個步驟的理論依據來源于自然數集合公理的歸納公理，即如果一個由自然數組成的集合含有1，又當這個集合含有任一自然數n時，它也一定含有n的后繼數，則此集合含有全部自然數.上述公理是意大利數學家皮亞諾在1889年提出的.根據歸納公理，我們要證明與自然數集有關的命題P成立，只需證明兩點:先證明命題P對于自然數n。成立，這是數學歸納法的第一步;然后證明假設命題尸對于k成立，由此推得命題P對于自然數k+1也成立，這是數學歸納法的第二步.由此可見，用數學歸納法證明時，只要完成了上述兩個步驟，就可以斷言命題對于從n。開始的所有自然數n都成立。
3、數字歸納法的思想本質
思想反映在人的意識中，是客觀存在，經過思維活動而產生的結果�，F實世界在數學里的反映是能動的，數維能動的自由創造，是來自往常經驗的一開始的概念和原理有所意識并合乎邏輯學思的發展。數學歸納法的演繹推理是在歸納基礎上成立的，演繹推理在數學中歸納基礎上的是普遍存在的，并且不僅僅是局在于數學歸納法上。比如，在學習三角形內角和定理時，老師經常是通過讓學生先用量角器測量三角形的各個角的度數，然后再來進行相加。經過測量幾個三角形之后，都會得出其三個內角之和為180度。這種認識事物的方法稱為歸納法，但是通過此種方法得出來的僅僅是經驗，不一定是真理，如果要使歸納出的結論成為真理，就一定要通過演繹證明。歸納與演繹是對立統一存在的，歸納有利于發現事物的真理，而演繹則有助于揭示事物其內在的聯系，使我要們認識事物的本質，就要和諧地將歸納與演繹這兩種認識世界的基本方法統一在數學歸納法之中。
4、數學歸納法的應用
用數學歸納法證明，要完成兩個步驟和一個結論.證明第一步是比較容易的，有時只要驗證一下即可.而證明第二步的關鍵在于:一要充分用好歸納假設;二要做好命題從n =k到n=k+1的遞推轉化，這個轉化要求從n =k到n=k+1時命題的結構形式不變.在解題過程中，學生主要存在兩方而的困難，一是當命題從n =k到n=k+1時，若增加的項不是1項，不少學生不能正確寫出表達式，二是不能靈活進行轉化.下而舉例說明用數學歸納法證明的思路及一些常用方法。
例1 證明: (n N*)。
分析 當n =1時，命題為真。設表示原式的左邊，f (n)表示原式的右邊，則原式為= f (n)。命題從n =k到n=k+1遞推轉化的途徑是:=.其中=f(k)是歸納假設，f (k)與f(k+1)的結構形式要相同，因此需要通過恒等變形證明等式f(k)+=f(k + 1)成立。
例2 證明:1+(n N*)。
分析當n =1時，結論正確.由分母的變化規律，當n =k時，原式左邊不是k項，而是有項;當n=k+1時，原式左邊不是k+1項，而是有項。設表示原式左邊，f (n)表示原式右邊，則命題從n =k到n=k+1轉化的途徑是：。其中s(k)=是歸納假設.要使f (k)與f(k+1)的結構形式相同，先將s(k)中的項都換成，再把f(k) + s(k)縮小為f(k)+，從而實現遞推轉化.需要指出的是，用數學歸納法證明與不等式有關的命題時，常用基本不等式進行放縮轉化。
例3 己知為兩兩各不相同的正整數，證明:對任何正整數n，有+…+ 。
分析 當n =1時，命題為真.假設當n =k時不等式成立，那么當n=k+1時，利用歸納假設有+…+ .
顯然，當時，就能順利轉化;而當時，則轉化受阻.因為u是兩兩互不相同的正整數，如果，那么在中必有一個(1)大于或等于k+1，設法把與交換一下，就能使轉化順利進行.具體操作如下:當,因為在中必有一個(1),設毛:毛k)，設=+(，顯然，在和式+…+中，因為==，所以可以把和式前面的k項中的替換成，把差額部分放到最后去，其和不變.此時前而k項的分子仍符合兩兩各不相同的正整數的條件，可以利用歸納假設遞推轉化。
例4 證明: +15n一1(n N*)能被9整除。
分析 當n =1時，命題顯然成立.假設當n=k(,k N*)時命題為真，那么
f(k+1) =+15n一1= f (k)一60k +4+15(k+1)一1=4f(k)一9(5k一2).
第一項由歸納假設能被9整除，第二項顯然能被9整除.故f(k+1)能被9整除，這就是說當n=k+l時命題也為真。
由例4可知，一些整除性命題都可以變換成f(k + 1) =A(k)f(k) + B(k)的形式，其中A(k)f(k)是歸納假設部分，能被正整數P整除，若B (k)明顯能被P整除，從而推出f (k + 1)能被P整除。
5、數學歸納思想的重要性
隨著社會發展和工作的需要，在教學中能力的培養越來越被重視。能力不同與知識，例如，在一類數學歸納法的學習中，學生懂得數學歸納法，知道其具體的步驟和過程，這就是知識。而判斷什么時候用數學歸納法，如何區分構造歸納方法更加簡便，這就是能力。學生能力的大小在于他的思維能力，因此，發展思維能力，尤其是歸納創造思維能力是培養能力的核心，影視學生學會分析、歸納、概括、綜合、演繹、類比、抽象等主要的思維方式。
學生應該以學習為主體，培養學生綜合歸納、獨立思考的思想，使給與他們的最好的禮物。還要使其養成獨立思考的習慣，不能養成依賴的思想，一旦遇到問題就問。還有運算能力在數學歸納思想中也尤為重要，運算是學習的基本能力，對于數學歸納法還有一個突出的問題就是準確性差，算法不合理。數學歸納法思想也是種一種綜合能力的體現，是邏輯思維能力與計算技能和技巧的結合.而且還與記憶能力、歸納能力、推理能力、理解能力、表達能力以及空間想象能力相互之間滲透形成的一種綜合能力。
總結
現代數學已經突破了傳統意義科學知識的約束，逐漸成為一項普遍使用的技術，與人類生活的各個相關領域都開始交融，可以說在信息收集、整理、表述、創新、溝通等人類發展文化中處于關鍵角色。數學歸納法是數學中最基本也是最重要的證明方法之一，也是一種特殊的論證方法，它在數學各個分支都有著廣泛的應用。從數學歸納法的思想方法，可以體會到人類思維無限徜徉精靈般的魔力;從數學歸納法簡潔證明格式與鎮密周詳過程的辯證統一，可以領悟到哲學思想無處不在的深刻，這也是數學歸納法蘊涵的文化內涵。
參考文獻：
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