淺析數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的構(gòu)造法

時(shí)間：2022-10-05 19:04:38 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文我要投稿

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淺析數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的構(gòu)造法

　　構(gòu)造法屬于非常規(guī)思維，它適用于對(duì)某些常規(guī)方法不易解決的問(wèn)題，既巧妙，又簡(jiǎn)潔。其主要思想是依據(jù)題設(shè)條件特點(diǎn)，以所求結(jié)論為方向，在思維中形成新的數(shù)學(xué)形式，使得問(wèn)題在這種形式下，擁有簡(jiǎn)捷解決的方法。由于它主要表現(xiàn)出思維的試探性，所以是競(jìng)賽中重要的解題方法之一。

　　1、構(gòu)造方程法

　　構(gòu)造方程通常是構(gòu)造一些特殊的方程，如一元二次方程等。因?yàn)橐辉畏匠瘫旧砭哂幸恍┛蓴U(kuò)展的內(nèi)容，如方程有實(shí)根則判別式大于零或等于零;其根與系數(shù)之間具有非常特殊的關(guān)系—韋達(dá)定理;方程在區(qū)間上有實(shí)根可與函數(shù)和圖象產(chǎn)生對(duì)應(yīng)關(guān)系等等。通過(guò)構(gòu)造方程，可以將一些“相等關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“不等關(guān)系”，或者將“不等關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“相等關(guān)系”。

　　例1為實(shí)數(shù)，且滿足則求的范圍。

　　分析：由已知條件得，所以根據(jù)韋達(dá)定理可構(gòu)造一元二次方程此方程有兩實(shí)根，其判別式不小于零，即有由此可得的取值范圍是[1,9]。

　　這里需要說(shuō)明的是：在具體的問(wèn)題中要構(gòu)造什么方程，要看具體問(wèn)題的需求而定，但凡是涉及“兩數(shù)之和或兩數(shù)之積”，應(yīng)該想到可通過(guò)韋達(dá)定理來(lái)構(gòu)造方程，凡涉及與判別式結(jié)構(gòu)類似的關(guān)系式也應(yīng)該想到可以構(gòu)造相應(yīng)的方程。

　　例2已知是正的外接圓(劣弧)上任一點(diǎn)，求證：

　　例3 確定方程組的所有整數(shù)解方程組

　　分析：此題是較高次的方程組，難度很大，但由可求出，從而可用與方程有關(guān)的知識(shí)，問(wèn)題就比較容易解決。

　　2、構(gòu)造函數(shù)法

　　函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的思想，在初等數(shù)學(xué)中，聯(lián)系著數(shù)、式、不等式、數(shù)列、曲線等方面的問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)就是從問(wèn)題本身的特點(diǎn)出發(fā)構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)去求得問(wèn)題的解。

　　例4 已知是滿足的實(shí)數(shù)，試確定的最大值。

　　3、構(gòu)造圖形法

　　例6求函數(shù)的值域。

　　分析：此關(guān)系反映了過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率，而點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)，所以考慮當(dāng)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)直線的斜率的取值范圍，易得斜率范圍。

　　需要注意的是：要構(gòu)造圖形解題首先考慮一些基本代數(shù)式與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如方程與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線及一些基本圖形的性質(zhì)的代數(shù)表達(dá)式，如三角函數(shù)的正弦、余弦定理等。

　　4、構(gòu)造模型

　　將問(wèn)題中的條件，數(shù)量關(guān)系等，在已構(gòu)造的模型上實(shí)現(xiàn)并得到一種解釋，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的證明，具體解題過(guò)程中有些模型能從問(wèn)題本身的條件中獲得，而有些模型構(gòu)造精巧。

　　例7證以頂點(diǎn)在單位圓上的銳角三角形的三角的余弦之和小于該三角形周長(zhǎng)之半。

　　5、構(gòu)造不等式法

　　在一些問(wèn)題特別是函數(shù)的最值問(wèn)題中，其條件或函數(shù)關(guān)整理系式的構(gòu)成，往往隱含著一些限制條件，如方程有解時(shí) ，一些基本不等式等，充分利用它們可構(gòu)成不等式，使問(wèn)題得到解決。

　　(全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)

　　6、構(gòu)造距離法

　　例10設(shè) ，求的最小值。

　　分析：可變形為。其中為點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，而此兩點(diǎn)分別在直線及上，根據(jù)兩直線位置情況，不難知道兩直線上的點(diǎn)之間最短距離為。從而可知的最小值為6。

　　7、構(gòu)造對(duì)應(yīng)關(guān)系

　　所謂構(gòu)造對(duì)應(yīng)關(guān)系即將一件事與另一件事相對(duì)應(yīng)，在處理一些計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)常用這種方法，由于有時(shí)直接滿足某些要求的元素的個(gè)數(shù)可能比較困難，但考慮與之相對(duì)應(yīng)的另一類元素就可能較容易。

　　例11試問(wèn)方程有多少組正整數(shù)解。

　　分析：可構(gòu)造這樣一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：將2002個(gè)完全相同的球排成一排，則它們有2001個(gè)間隔，將1000塊板插入這2001個(gè)間隔中(每間隔只能插進(jìn)一個(gè)板)，則顯然每組插法與原方程的每一組解產(chǎn)生一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而此時(shí)2001個(gè)間隔中人選1000個(gè)間隔分別插入一塊板，顯然共有種不同的插法，所以原方程共有個(gè)不同的整數(shù)解。

　　構(gòu)造法的應(yīng)用，對(duì)于考試及競(jìng)賽中靈活應(yīng)試，以及培養(yǎng)能力、啟迪思維具有十分重要的意義。上面僅僅是常見(jiàn)的集中構(gòu)造法，還有很多構(gòu)造類型，如構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造等價(jià)命題、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造恒等式、構(gòu)造結(jié)論、構(gòu)造復(fù)數(shù)等。在數(shù)學(xué)構(gòu)造中，針對(duì)不同的題型，巧妙的利用題中條件或結(jié)論使問(wèn)題得到解決。這種獨(dú)到的方法往往在解題過(guò)程中使解題思路開(kāi)闊很多，更減少了解題過(guò)程中不必要的麻煩。但同時(shí)，構(gòu)造法是一種較靈活的方法，不同的題型要用不同的方法來(lái)解決。總之，構(gòu)造法是一種靈活性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)解題方法，它要求解題者具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，敏銳的觀察能力及豐富的想象力，這樣才能在做題過(guò)程中起到事半功倍的效果。

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