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分段函數(shù)
摘 要: 本文概括了分段函數(shù)常見問題的解決方法。
關(guān)鍵詞: 分段函數(shù) 常見問題 解決方法
分段函數(shù)是指在函數(shù)定義域中對于自變量的不同的取值范圍有不同的對應(yīng)法則的函數(shù)。變量之間的關(guān)系要用兩個或兩個以上的式子表示。這種函數(shù)在日常生活、醫(yī)學(xué)問題等方面中廣泛存在。如居民水費,電費,企業(yè)稅收金,醫(yī)學(xué)中某些藥品用量規(guī)定等采取分檔處理,用數(shù)學(xué)式子表達(dá)就是分段函數(shù)。由于“分段”特點,解決分段函數(shù)的問題必須采取嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶厥夥椒?既要涉及初等函數(shù)公式、定理,又要綜合運用高等數(shù)學(xué)的概念、公式、定理,是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點。本文概括了分段函數(shù)常見問題的解決方法。
一、分段函數(shù)的確定
首先要準(zhǔn)確確定分段點并劃分自變量的取值區(qū)間,然后根據(jù)不同的區(qū)間正確確定函數(shù)關(guān)系式。對于分段函數(shù)通過+、-或復(fù)合的新分段函數(shù),關(guān)鍵是確定新分段點,重新劃分區(qū)間,還要注意只有在各分段函數(shù)的定義域有公共區(qū)間才能進(jìn)行復(fù)合。
例1:將函數(shù)f(x)=2-|x-2|表示成分段函數(shù)。
(A)f(x)=4-x(x≥0)x(x<0) (B)f(x)=4-x(x≥2)x(x<2)
(C)f(x)=4-x(x≥0)4+x(x<0)(D)f(x)=4-x(x≥2)4+x(x<2)
分析:∵f(x)=|x-2|=x-2(x≥2)2-x(x<2),∴選(B)。
例2:設(shè)f(x)= 1 (x>0)-1(x≤0),g(x)=x+1,f[g(x)]=。
分析:定義域為R,又∵g(x)=x+1>0,∴f[g(x)]=1。
例3:設(shè)f(x)= 0(x≤0)x(x>0),求F(x)=f(x)-f(x-1)。
分析:∵f(x-1)=0(x≤1)(x-1)(x>1),分段點有兩個x=0,x=1,
∴F(x)= 0(x≤0)x(01)。
例4:設(shè)f(x)=1(0≤x≤1)2(1 (A)無意義 (B)在[0,2]有意義
(C)在[0,4]有意義(D)在[2,4]無意義
分析:∵f(x)定義域為[0,2],則2x∈[0,2],得x∈[0,1];又x-2∈[0,2],得x∈[2,4],∴選(A)。
二、分段函數(shù)定義域
分段函數(shù)的定義域各個部分自變量取值的并集。
例1:設(shè)f(x)=(|x|≤1)x-1(1<|x|≤2),其定義域是()。
分析:定義域為{x||x|≤1}∪{x|1<|x|<2}=(-2,2)。
例2:設(shè)f(x)=x-1(x<0)2 (0 分析:定義域為(-∞,0)∪(0,1)∪[1,3)=(-∞,0)∪(0,3)。
三、分段函數(shù)的函數(shù)值
根據(jù)x的所在區(qū)間,正確選取相應(yīng)的表達(dá)式,代入求計算即得。
例1:設(shè)f(x)=1-x(-3≤x<0)(0≤x≤3),求f(a)。
分析:∵a≥0,∴f(a)==|a|=-a(-≤a<0) a (0≤a≤)。
例2:設(shè)f(x)=2x (x≤2)x-4x-3(x>2),求f[f(1.5)]。
分析:∵1.5<2,∴f(1.5)=3;
又∵3>2,∴f[f(1.5)]=9-12+3=0。
例3:設(shè)f(x)=6(x<2)3(2≤x<3)2(x≥3),且a>0,求。
分析:∵a>0,∴f(2-a)=6,f(2+a)=3或2,
∴=或。
四、分段函數(shù)的反函數(shù)
首先判斷函數(shù)的定義域與值域是否一一對應(yīng)(或函數(shù)是否有單調(diào)性),確定反函數(shù)是否存在。若存在只要分別求出各區(qū)間段相應(yīng)函數(shù)的反函數(shù)并確定相應(yīng)自變量的取值范圍。
例1:設(shè)f(x)=(-∞ 分析:作圖可知函數(shù)的定義域與值域一一對應(yīng),反函數(shù)存在,分別求出各區(qū)間的反函數(shù)為f(x)=2x (-∞ 例2:設(shè)f(x)= e(x≥0)x+1(x<0),求反函數(shù)f(x)。
分析:f(x)是單調(diào)遞增函數(shù),反函數(shù)存在,為f(x)=lnx(x≥1)x-1(x<1)。
五、分段函數(shù)的奇偶性
首先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱,是的話,分別用-x代替解析式中的x并解出結(jié)果。注意自變量的取值范圍相應(yīng)改變,也可以通過作圖判定。
例1:判斷f(x)=x-1(x<0)0(x=0)x+1(x>0)的奇偶性。
方法一:作圖可知圖像關(guān)于原點對稱,是奇函數(shù)。
方法二:
分析:定義域(-∞,+∞)關(guān)于原點對稱。
f(-x)=-x-1(-x<0) 0 (x=0)-x+1(-x>0)=-(x+1)(x>0)0(x=0)-(x-1)(x<0)
∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù)。
例2:判斷f(x)=x+2(-2≤x≤-1)1(-1 方法一:作圖可知圖像關(guān)于y軸對稱,是偶函數(shù)。
方法二:分析:定義域[-2,2]關(guān)于原點對稱。
f(-x)=-x+2(-2≤-x≤-1) 1 (-1<-x<1)2+x(1≤-x≤2)=-x+2(1≤x≤2) 1 (-1 ∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù)。
六、分段點的極限
對于非分段點或兩側(cè)表達(dá)式相同的分段點可用初等函數(shù)的求極限方法。而對于兩側(cè)表達(dá)式不同的分段點的極限要分別求出左右極限。根據(jù)定理f(x)=f(x)=A?圳f(x)=A判斷函數(shù)在該點的極限是否存在。
例1:已知f(x)=x(x≠2)1 (x=2),求f(x)。
(A)2 (B)1 (C)4 (D)∞
分析:∵x=2是分段點但兩側(cè)表達(dá)式相同,由上述定理可得:
∴f(x)=f(x)=x=4。
例2:f(x)== 1 (x>1)-1(x<1),求f(x)。
分析:x=1是分段點且兩側(cè)表達(dá)式不同。要分別求出左右極限。
∵f(x)=1,f(x)=-1,∴f(x)不存在。
例3:f(x)=3x (x<1) 2(x=1)3x(x>1),求f(x)。
分析:∵f(x)=3,f(x)=3,∴f(x)=3。
七、分段函數(shù)的連續(xù)性
由于一切初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的,因此分段函數(shù)的連續(xù)性關(guān)鍵是判斷分段點的連續(xù)性。
例1:判斷f(x)=(x>0)e(x≤0)在x=0處是否連續(xù)。
分析:∵f(x)=1,f(x)=1,又f(0)=1,∴f(x)在x=0處連續(xù)。
例2:f(x)= (x<0)3x-2x+k(x≥0)在x=0處連續(xù),求k。
分析:x=1是分段點且兩側(cè)表達(dá)式不同。要分別求出左右極限。
分析:∵f(x)=2,f(x)=k,∴k=2。
例3:函數(shù)f(x)=(x>0)a(x=0)xsin+b(x<0)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的,求a、b的值。
分析:由題意可知,f(x)在x=1處連續(xù)。
∵f(x)=,f(x)=b,又f(0)=a,∴a=b=。
八、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
非分段點可利用公式求出導(dǎo)數(shù)再代入即可。對于分段點且兩側(cè)表達(dá)式相同的可根據(jù)定義。對于分段點用兩側(cè)表達(dá)式不同的,必須求出左導(dǎo)和右導(dǎo)。
例1:f(x)=(x≠0)0 (x=0),求f′()、f′(0)。
分析:∵f′(x)=,∴f′=-,f′(0)===1。
例2:f(x)=ln(1+x)(x>0) x(x≤0),求f′(0)。
分析:∵f′(x)===1,f′(0)==1,∴f′(0)=1。
例3:f(x)=e(x<0)e (x≥0),求f′(x)。
分析:∵f′(0)===1,
f′(0)==-1,
∴f(x)在x=0處不可導(dǎo),∴f′(x)=-e(x<0)e(x>0)。
九、分段函數(shù)的不積分
分別求出各區(qū)間段相應(yīng)函數(shù)的不定積分,再由連續(xù)性確定常數(shù)。
例1:f(x)= x (x<0)-sinx(x≥0),求f(x)dx。
分析:f(x)dx= +c (x<0)cosx+c(x≥0)
∵f(x)在x=0處連續(xù),∴c=1+c,
∴f(x)dx=+1+c(x<0) cosx+c (x≥0),其中c為任意常數(shù)。
例2:f′(x)=1 (x≤0)e(x>0),且在x=0處連續(xù),f(0)=0,求f(x)。
分析:f(x)=f′(x)dx=x+c (x≤0)e+c(x>0)
∵f(x)在x=0處連續(xù),且f(0)=0,c=0,c=-1。
∴f(x)=x (x≤0)e-1(x>0)。
十、分段函數(shù)的定積分
利用定積分的可加性,分成多個定積分。注意要根據(jù)分段區(qū)間選取相應(yīng)被積函數(shù)。
例1:f(x)=1(-1≤x<0)2(0≤x≤1),求f(x)dx。
分析:f(x)dxdx=dx+2dx=。
例2:求|1-x|dx。
分析:|1-x|dx=(1-x)dx+(x-1)dx=1。
例3:f(x)= 0 (x<0)(0≤x≤1) 0 (x>1),kf(x)dx=1,求k的值。
分析:∵kf(x)dxkf(x)dx+kf(x)dx+kf(x)dx=kdx=1,∴k=。
十一、結(jié)語
在討論分段函數(shù)的有關(guān)問題中,分段點是個特殊點,一般要分段處理。特別是求分段點極限、導(dǎo)數(shù),以及判斷連續(xù)性,都要“左看右看”,謹(jǐn)慎處理。
參考文獻(xiàn):
[1]劉書田等編.高等數(shù)學(xué).北京理工大學(xué)出版.
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