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總結

二次函數的知識點總結

時間:2024-09-13 10:28:06 總結 我要投稿
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關于二次函數的知識點總結

  導語:二次函數的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。下面是由小編整理的關于二次函數的知識點總結。歡迎閱讀!

關于二次函數的知識點總結

  二次函數的知識點總結

  1、二次函數及其圖像

  二次函數(quadraticfunction)是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2bxc(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

  一般的,自變量x和因變量y之間存在如下關系:

  一般式

  y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c為常數),頂點坐標為(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a);

  頂點式

  y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數),頂點坐標為(-m,k)對稱軸為x=-m,頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數y=ax∧2的圖像相同,有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;

  交點式

  y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線];

  重要概念:a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。

  牛頓插值公式(已知三點求函數解析式)

  y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導出交點式的系數a=y1/(x1*x2)(y1為截距)

  求根公式

  二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

  x是自變量,y是x的二次函數

  x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

  (即一元二次方程求根公式)

  求根的方法還有因式分解法和配方法

  在平面直角坐標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像,

  可以看出,二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。

  不同的二次函數圖像

  如果所畫圖形準確無誤,那么二次函數將是由一般式平移得到的。

  注意:草圖要有1本身圖像,旁邊注明函數。

  2、畫出對稱軸,并注明X=什么

  3、與X軸交點坐標,與Y軸交點坐標,頂點坐標。拋物線的'性質

  軸對稱

  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

  對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

  特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

  頂點

  2.拋物線有一個頂點P,坐標為P(-b/2a,4ac-b^2;)/4a)

  當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2;-4ac=0時,P在x軸上。

  開口

  3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

  當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

  |a|越大,則拋物線的開口越小。

  決定對稱軸位置的因素

  4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

  當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號

  當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0,也就是-b 2a="">0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號

  可簡單記憶為左同右異,即當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

  事實上,b有其自身的幾何意義:拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值?赏ㄟ^對二次函數求導得到。

  決定拋物線與y軸交點的因素

  5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

  拋物線與y軸交于(0,c)

  拋物線與x軸交點個數

  6.拋物線與x軸交點個數

  Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

  Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

  Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)

  當a>0時,函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數,在

  {x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

  當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函數是偶函數,解析式變形為y=ax^2c(a≠0)

  特殊值的形式

  7.特殊值的形式

  ①當x=1時y=abc

 、诋攛=-1時y=a-bc

 、郛攛=2時y=4a2bc

 、墚攛=-2時y=4a-2bc

  2、二次函數的性質

  8.定義域:R

  值域:(對應解析式,且只討論a大于0的情況,a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a,

  正無窮);②[t,正無窮)

  奇偶性:當b=0時為偶函數,當b≠0時為非奇非偶函數。

  周期性:無

  解析式:

  ①y=ax^2bxc[一般式]

  ⑴a≠0

 、芶>0,則拋物線開口朝上;a<0,則拋物線開口朝下;

 、菢O值點:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);

  ⑷Δ=b^2-4ac,

  Δ>0,圖象與x軸交于兩點:

  ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b√Δ]/2a,0);

  Δ=0,圖象與x軸交于一點:

  (-b/2a,0);

  Δ<0,圖象與x軸無交點;

  ②y=a(x-h)^2k[頂點式]

  此時,對應極值點為(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;

  ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)

  對稱軸X=(X1X2)/2當a>0且X≧(X1X2)/2時,Y隨X的增大而增大,當a>0且X≦(X1X2)/2時Y隨X的增大而減小,此時,x1、x2即為函數與X軸的兩個交點,將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。

  交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點坐標設交點式。兩交點X值就是相應X1X2值。

  用函數觀點看一元二次方程

  1.如果拋物線與x軸有公共點,公共點的橫坐標是,那么當時,函數的值是0,因此就是方程的一個根。

  2.二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種:沒有公共點,有一個公共點,有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況:沒有實數根,有兩個相等的實數根,有兩個不等的實數根。

  實際問題與二次函數

  在日常生活、生產和科研中,求使材料最省、時間最少、效率最高等問題,有些可歸結為求二次函數的最大值或最小值。

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