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數學的本質與數學對象
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摘 要：數學，這門最古老，同時在當代仍有無限發展潛力的學科的生命力正是來自于其對自身歷史的永無止境的超越中，并得益于其研究對象的豐富性與研究范圍的廣泛性，以及其研究方法的多樣性和思維方式的深刻性和創造性。
關鍵詞：數學本質;數學對象
數學的本質及數學研究對象是一個動態的概念體系。
它隨著數學在不同歷史時期的發展而被賦予逐步變化的、越來越豐富深刻的意義。
因此，對數學的任何定義與理解都只能是某一歷史階段的產物，因而都有其鮮明的時代特色和局限性。
數學是不可能有一個永恒、絕對、不變的本質和對象的，否則數學將停留在本體論和認識論的僵化教條中，而無法生機勃勃的發展。
數學，這門最古老，同時在當代仍有無限發展潛力的學科的生命力正是來自于其對自身歷史的永無止境的超越中，并得益于其研究對象的豐富性與研究范圍的廣泛性，以及其研究方法的多樣性和思維方式的深刻性和創造性。
麥克萊恩給數學的定義是：“數學在于對形式的不斷發現，而形式結構則反映了客觀世界和人類在這個世界里的實踐活動。
強調的是那些具有廣泛應用和深刻反映現實世界某一方面的結構。
詳細地講，數學的發展利用經驗和直覺的洞察力去發現合適的形式結構，對這些結構進行演繹分析，并建立這些結構之間的形式聯系。
換句話說，數學研究相互關聯的結構。
對數學本質的理解的一個基點就是數學與客觀物質世界的關系。
正如大多數數學家所承認的那樣，數學不是一門經驗科學。
盡管數學的發展與自然科學緊密相聯，但數學卻有著迥然不同于經驗科學的方法。
數學與其他任何一門學科所不同的，是它提供了現代科學技術的語言和工具。
它的思想是許多物理學說的核心，并為其產生奠定了基礎。
近代科學之所以能演變成為現代科學，第一個決定性的步驟是它的數學化。
不僅如此，在社會科學領域，數學的作用也在日益增大。
數學與人類其他的文化創造是息息相關的統一整體。
數學所追求的是一種完全確定、完全可靠的知識。
例如在歐幾里得平面上三角形內角和為。
這意味著，不是有些三角形的內角和為，也不是說在一定誤差范圍內三角形內角和為，而是斷定，所有三角形的內角和不多不少恰好為。
從古希臘的文明中，我們就已經看到這種基本的趨向。
古希臘人對數學最重要的貢獻是把東方的經驗數學升華為演繹數學，而數學的演繹性質是數學區別于其他科學的最重要標志，并一直主導著數學發展的方向。
柏拉圖堅信數學對哲學和了解宇宙的重要作用，認為沒有數學就不可能有真正的智慧。
柏拉圖還認為，數學公式或規律是洞察永恒理念的一個必要階梯。
畢達哥拉斯學派也宣稱，數是一切事物的本質，整個有規定的宇宙的組織就是數與數的關系的和諧系統。
古希臘人相信，數學所探討的不是稍縱即逝的知識，不是服務于某種具體物質需要的問題，而是某種永恒不變的東西。
所以，數學的對象必須有明確無誤的概念，而且其方法必須由明確無誤的命題開始，并服從明確無誤的概念，借以達到正確的結論。
為了純形式地較深入地研究并把握數學中的各種關系，有必要把物的某些性質排除在外，數學需要而且必須采用抽象的過程達到其認識目的。
隨著人類對數學對象認識的過程的不斷深入，數學的抽象程度也在不斷提高。
抽象化越來越成為數學的重要特點。
數學的抽象化作為數學認識的出發點，是一種歷史的自然過程，因此應該視為數學成為一門科學的起點。
客觀世界中的一切對象之間都以各種方式相互聯系和相互作用者。
其中既有本質的、必然的、永久的東西，也有非本質的、偶然的、暫時的東西。
為了達到認識世界的目的，有必要對現實對象的屬性進行分析，排除次要成分，以純粹的形式來觀察現實，這樣一個過程就是抽象。
所謂抽象，從廣泛的意義看，就是以某一特定角度看待對象的過程，在這一過程中可以忽視對象的其他性質。
因此，抽象意味著抽取或分離。
在數學中，可以把重要性質篩選出來的思維過程，稱為抽象化。
數學中的最普遍的抽象化手段，有等置抽象、分析的或孤立化的抽象、構成數學的無限概念時不可缺乏的實現可能性的抽象等。
其中最基本的是等置抽象的方法，亦稱一般化的抽象。
等置抽象，有時也稱為根據抽象得到的定義或對象共同性質的抽象。
在古希臘，歐道克斯、歐幾里得在不能確定一個幾何學中比的直接意義時，就依賴了等置抽象的方法。
徐利治教授在《數學方法論選講》一書中，對數學中的抽象進行了論述，提出了數學抽象度的一般概念，并論述了抽象度分析法。
徐利治教授進行這一研究的價值在于他把對抽象性與抽象過程的研究初步地賦予了數學量化的意義。
2000多年前，歐幾里得的《幾何原本》誕生了。
這部不朽的數學著作確立了幾何學的確實性。
自那時起，任何一種認識論都要談到數學的這種確實性。
這種認識論可追溯至歐幾里得之前，柏拉圖就認為希臘幾何學的確實性來自數學對象永恒不變的完美性。
雖然歐幾里得幾何學提供了數學確實性的范例，但數學的確實性并不僅僅局限于幾何學。
法國數學家笛卡爾就是把幾何圖形看成動點的軌跡，用數對作為動點的坐標表示后，才建立了解析幾何學的。
幾何學研究由此被納入代數學的范疇，代數方法顯示出其普遍的意義。
笛卡爾認為確立一門科學的演繹結構是在分析或發現之后的任務。
人們首先要把整體分解為正確的要素，然后從中推演出真理來。
他在《方法談》中寫道，第一規則，是絕不把任何事物當作真的加以接受，除非我認識到它是顯然如此的。
第二是把我遇到的每一種困難的事物盡可能地劃分成許多部分，每一部分都較容易解答。
第三是從最簡單的和最易于理解的事物出發，循序漸進地達到更復雜的知識。
笛卡爾是把他的方法當作數學和科學發現的鑰匙提出來的。
笛卡爾相信，仿效數學發現中的成功方法將會導致其他領域的成功發現。
而數學是惟一使笛卡爾真正感到滿意的學科，因為它的證明具有確實性。
笛卡爾知道，知識也是從經驗通過推導和從經驗通過歸納而推出來的。
但笛卡爾相信從一個可靠的出發點進行演繹。
他指出，經驗從高度復雜的對象開始，因此從它們進行推理很容易產生錯誤，但演繹只要以普通的智力加以運用，就不可能發生錯誤。
笛卡爾指出：“這清楚地說明了，算術和幾何為什么遠比其他科學確實。前者只處理那么純粹而又那么簡單的對象，以致它們根本不需要作經驗使之變得不確實的那些假定，而它們完全在于理性地歸納與推論。”數學結論的確實性的一個突出特點就是無人對數學結論產生異議。
伏爾泰就寫道幾何學不存在流派，人們不說它是歐幾里得的或阿基米德。
然而，非歐幾何的誕生開始動搖關于數學的形而上學的觀點。
康德曾用數學的確實性試圖表明形而上學是可能存在的。
如果存在形而上學，那它就是獨立于經驗的。
那么，數學的確實性是怎樣一種定義呢?很明顯，柏拉圖關于世界是真實的數學實在的一個不完全的模型的看法已不再適合。
在數學家看來，由于在系統中沒有給原始術語指派意義，因而幾何學中僅有這樣一些恰當的問題，它們是關于從不予解釋的公理到不予解釋的定理的邏輯可推導性。
這樣一來，任何一門幾何都是確實的，不過是在某種退化意義上的確實性，即避免與客觀真理進行檢驗的意義上。
有些數學家主張數學公理的選擇是理智的自由選擇，而不是受經驗限制的選擇。
愛因斯坦曾表達過相當令人費解的觀點：“只要數學的定律涉及實在，它們就不是確定的;只要它們是確定的，它們就不涉及存在。”現在，人們越來越傾向于認為，數學理論是在為一個經驗實體提供一組不同的可選擇的模型。
這是笛卡爾、黎曼這些數學巨人偉大數學思想的復興。
數學通過對模型的揭示與研究，為我們展示了奧秘無窮并有著內在規律的宇宙的秩序與運作。
當代數學已不僅僅是代數與幾何，而是一門豐富多彩的內容廣泛的學科。
當代數學所處理的是科學中的數據、測量、觀測資料，是推斷、演繹、證明，是自然現象、人類行為、社會系統的數學模型。
在當代，數學的確實性的意義已經變為模式的意義，而模式是組成世界的基本結構。
數學就是為模式的識別、分類和利用建立起來的一套規范的開放的變化的思想體系。
數學是理解和認識世界強有力的普遍的思維方式，數學是信息處理的有效手段。
在柏拉圖看來，數學之所以有可應用性，是因為我們生活的世界不過是對更高級的數學實在的一種近似。
甚至行星的運動也劣于純粹的數學運動。
而對亞里士多德來說，數學對象僅僅是經由人們的理智從物理世界中抽象出來的。
數學常被譽為自然科學的皇后。
數學作為一門科學語言對自然科學的功效是獨特的和不可替代的。
培根稱數學為通向科學大門的鑰匙。
數學語言的精確、簡潔、抽象，形式化等特點，使得對一門科學來說，若有達到量化水平，就必須依賴數學這門語言。
1928年，英國物理學家狄拉克將量子力學和相對論相結合，建立了相對論量子力學，并給出了描述單個電子行為的電子波動方程狄拉克方程。
并從理論上推導出一系列性質。
例如預言了正電子的存在等，后來得到了實驗證實。
在狄拉克方程中，矩陣理論起到了基本作用。
1908年哈代在純粹數學方面的一篇論文，后來被認為對遺傳學很有意義。
德國物理學家溫伯格也獨立地發現了相同的原則，后稱為哈代溫伯格平衡。
數學日益廣泛的技術性質，與其科學性質一起，構成了現代數學應用性的兩個基本方向。
數學技術的泛化，體現了數學在信息時代的新特點，尤其是在計算機技術的迅速崛起中，數學技術扮演者決定性的角色。
數學模型是聯系科學現象和有計算機提供的模型之間的媒介。
科學計算已成為與理論科學和實驗科學并列的第三種科學方法。
科學計算方法把數學概念引入現實世界的科學模型中，其作用可與公理化理論和微分方程相媲美。
計算機模型已經使數學科學延伸到了科學和工程實踐的每一個角落。
值得深思的是，計算機之所以成為可能是由于波爾、康托、圖靈、諾依曼等數學家所從事的抽象理論的應用。
但在計算機誕生之前，這些理論被譏諷為完全脫離實際的瞎抽象。
既然我們無法預料哪些數學理論將是有用的，那么僅僅從數學的應用價值這一狹隘的角度看，我們也不應該放棄那些暫時無用的基礎研究，而應該開展全方位的數學研究，把數學科學的真理完整、全面、系統地揭示出來。
只有這樣，才能不致遺漏地為其應用做好準備。
參考文獻：
[1]《數學哲學與數學文化》 陜西師范大學出版社.
[2]《科學與美》 遼寧科技出版社.
[3]《物理學家的自然觀》 商務印書館.
[4]《數學史譯文集續集》 上海科技出版社.
[5]《追求科學技術精神》 廣西人民出版社.
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