數學中的邏輯趣味

　　本文試從探究數學中的邏輯趣味入手，通過日常學到的與數學有關的邏輯趣味題來探析數學中的邏輯趣味。

　　數學中的邏輯趣味【1】

　　摘要：數學學科和邏輯學科聯系非常緊密，數學學科也正是因為有了邏輯思維的助力而變得充滿了趣味，本文從探究數學中的邏輯趣味入手，從在數學題目中動用邏輯思維、闡釋數學公式中的邏輯趣味、在數學學法中體會邏輯趣味三方面探尋數學中蘊含的邏輯及由此產生的邏輯趣味。

　　關鍵詞：數學邏輯 趣味公式

　　在高中階段，數學學習已經有了很大的難度，由于我們日常學的高中數學，很多知識都不能在現實中用到，在做數學習題的時候，由于題目的過于單一，使學習數學的趣味逐漸喪失，為了找回數學中的學習樂趣，本文試從探究數學中的邏輯趣味入手，通過日常學到的與數學有關的邏輯趣味題來探析數學中的邏輯趣味。

　　一、在數學題目中動用邏輯思維

　　所謂的邏輯其實就是一種思維形式，在數學中，有很多題目的設定都是與邏輯有關的，尤其是一些奧林匹克數學題，更是從日常的情境類題目入手，通過有故事性題目，用數學的解題手段，不知不覺把邏輯趣味融入其中，比如囚犯活命的經典例題：

　　孫臏，龐涓都是鬼谷子的徒弟;一天鬼出了這道題目：他從2到99中選出兩個不同的整數，把積告訴孫，把和告訴龐。

　　龐說：我雖然不能確定這兩個數是什么，但是我肯定你也不知道這兩個數是什么。

　　孫說：我本來的確不知道，但是聽你這么一說，我現在能夠確定這兩個數字了。

　　龐說：既然你這么說，我現在也知道這兩個數字是什么了。

　　問這兩個數字是什么?為什么?

　　這道題目就屬于邏輯類數學題的一種，他很容易把做�}的人帶入一種情境中，讓做題人不知不覺的想為題目中的主人公想出解決問題的方法。

　　對于這道題目的分析，光有充足的數學知識是遠遠不夠的，他還需要我們動用邏輯思維，對所有的可能性進行對比分析，以此找出解決問題的最好方法。

　　比如在一般的算術題中，我們往往不用排列出所有可能的答案進行篩選，而在邏輯題中有時候就要求我們必須分清哪些答案是可行的，哪些答案是不可行的，然后分門別類，通過排列對比得出結論。

　　再如在邏輯題中，文字性的東西比較多，也要求我們要把文字語言通過邏輯思考換成數學用語，通過數學語言對題目進行闡釋和解讀，如這道題，孫臏和龐涓的對話表面上看沒有什么，但實際上仔細分析其實就是數學語言的另一種表述方法，本著不怕麻煩的精神和能把文字語言轉換成數學語言的羅輯思維能力，這道題通過邏輯分析可以得出如下結論：

　　首先把這兩個數設為X和Y，那么兩者的和就是X+Y，兩者的積是X*Y，如果龐涓說他不知道孫臏的數是什么，根據兩個質數的乘積一定不是質數，兩個質數的和一定是合數的原則，那么X+Y就只能是2-99中的質數，那么再看X*Y，如果和是11能得到的乘積是18，24，28，30，;和是17能得到的乘積是30，42，52，60，66，70，72以此類推，就可以推理得出可能數值的大致選項，把這些可能的數字列出來以后，根據孫臏和龐涓又說他們都猜到是什么數字了，那么由此來看所得的乘積和和必須都是唯一的，由此在符合條件的數里層層篩選，那么通過刨除X*Y中的一些重復數，最后就能得出只能當和為17積為52的時候才可以，那么就不難算出X和Y分別是4和13。

　　二、數學公式中的邏輯趣味

　　數學公式一直以來都是學習數學的關鍵，其實仔細觀察不難發現，數學中的公式也是含有某種邏輯關系的，此外，邏輯中的某些思維也可以應用在數學公式的推導中，很多數學公式正是有了邏輯推導的過程，才變得充滿趣味。

　　此外，因為知識的連續性，很多數學知識都不是獨立存在的，例如在學習圓柱體之前，首先要對圓形相關的公式作以了解，在研究立體幾何點線面之間的關系時，也時常需要探尋其中每一個點面的內在聯系，通過畫輔助線，使原本看起來毫無聯系的立體圖形的每一面具有了某種形式上的關聯，進而找出解題中的正確思路。

　　所以說，通過數學公式和相關算法的推導，同樣可以找出數學中的邏輯趣味，從而在對數學邏輯的探索中提升數學的學習興趣。

　　三、在數學學法中體會邏輯趣味

　　數學學習需要各種思維的通力合作，其中邏輯思維必不可少，首先，數學講究的是對數字的歸納和推導，把錯綜復雜的數學題目進行合理分析，條分縷析的總結出數學的算法，邏輯的學習也是如此，邏輯思維告訴我們，任何事情，不僅要知其然，更要知其所以然，通過思考探究事物的來龍去脈，而數學學習要求也是如此，必須把所學知識進行有機整合，合理運用所致所學，才能真正學好數學。

　　綜上，本文對數學中的邏輯趣味進行了研究分析，其實，數學中除了邏輯趣味之外，還有很多樂趣，解數學題的過程其實也是探索的過程，通過對一個又一個未知世界的了解，讓我們能在數學思維的探究中，體悟出更多的奧密，通過對數學興趣的培養，促進數學學習能力全方位的提升。

　　參考文獻：

　　[1]費勁男.用發現的眼睛探究高中數學中的邏輯趣味[J].數學教學通訊，2015，(10).

　　[2]潘竹英.中職數學趣味性教學開展芻議[J].現代教育科學，2015，(02).

　　[3]胡榮.數學教學要重視趣味性[J].科學咨詢，2015.

　　用發現的眼睛探究高中數學中的邏輯趣味【2】

　　摘 要：在高中數學教學當中，邏輯思維的教學逐漸成為教師突出強調的內容.

　　這是高中數學的重點，更是轉變學生思維的難點.

　　本文將高中數學邏輯分解為五個方面分別進行闡述，希望能夠為廣大教師數學邏輯教學的創新有所幫助.

　　關鍵詞：高中數學;邏輯教學;創新

　　在筆者與很多高中數學教師交流教學心得的過程中，聽到教師反映最多的問題就是：很多學生對數學沒有學習興趣，學習過程十分被動.

　　的確，數學學習進入到高中階段之后，表面上的趣味性較之從前確實大大降低了.

　　如果說，小學與初中階段的數學學習側重于單純知識點的學習，高中數學所關注更多的則是數學邏輯思維的培養.

　　想要將外化的知識能力轉化為內化的思想方法，并不是一件容易的事，需要教師盡可能地引導學生發現高中數學學習當中的邏輯趣味.

　　探究數形結合邏輯趣味

　　有人說，數學的生命，一半在于數字，另一半則在于圖形.

　　筆者十分贊同這一點，它也很好地揭示出了數形結合的邏輯方式對于高中數學學習而言的重要意義.

　　很多學生認為，既然數學學習內容可以清楚地劃分為代數與幾何，那么，在每種內容的學習過程中，只要專注掌握好相應的解題方法即可，這是數學學習之中的一個誤區.

　　二者兼而有之，綜合運用，才能夠實現最為理想的解題效果.

　　例如，在學習過函數的單調性與奇偶性知識之后，筆者向學生呈現了這樣一道習題，來體現數形結合邏輯的實用性與趣味性：已知，函數f(x)為(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函數，且在(0，+∞)上呈單調遞增.

　　又有f(1)=0，請求出不等式fxx-<0的解集.

　　僅僅利用代數的邏輯考慮，并無法有效地利用到題目中所給出的奇函數與單調遞增等已知條件.

　　于是，筆者帶領學生根據已知條件作出f(x)的函數圖象(如圖1).

　　由圖象便可以明顯地看出，f(x)的值在(-1，0)∪(1，+∞)上大于0，而在(-∞，-1)∪(0，1)上小于0.

　　接下來再對這一變形進行討論，　　通過這樣的訓練，學生切身體會到了數形結合在高中數學學習當中的重要作用.

　　一方面，數字的表達能夠讓圖形所要呈現的內容更為清晰，借助圖形又能夠使得抽象的數字所包含的含義具體形象，二者相輔相成，實現數學思想表達的清晰化.

　　另一方面，數形結合的邏輯為很多數學問題的解答提供了新途徑與新思路，大大簡化了解題過程，提高了高中數學的學習效率.

　　[?] 探究等價轉化邏輯趣味

　　等價轉化也是高中數學學習過程中不可或缺的一種邏輯方法.

　　等價轉化邏輯具有兩個層面的含義.

　　從宏觀層面來講，等價轉化邏輯可以應用于新知識的學習與接受過程當中.

　　當學生面對一個嶄新的數學知識時，可以努力尋找其與既有知識之間的聯系，從而將其等價轉化為熟悉的思想方法，使得自己可以更加輕松地接受新知識.

　　從具體層面上來講，等價轉化邏輯還可以應用于具體數學問題的解答過程當中.

　　將復雜抽象的表達式等內容等價轉化為易于分析與表示的形式進行求解，能夠大大簡化思維過程和運算步驟.

　　例如，在立體幾何學習過程中，出現了這樣一道習題：已知在三棱錐A-MNP當中，三條側棱AM，AN，AP呈兩兩垂直的位置關系，且AM長為5，AN長為4，AP長為3.

　　點B為棱MN的中點，C為MP的中點，那么，四棱錐A-NPCB的體積是多少?這道題的提問方式，乍看起來比較陌生，學生不知如何處理.

　　但是，只要發現三棱錐之間的等體積轉化方法，并且通過已知條件把握住S△MBC=S△MNP的數量關系，答案的得出便輕而易舉了.

　　等價轉化的邏輯為學生的數學學習思維開啟了一扇大門.

　　在這種方法的輔助之下，學生發現，原來數學知識并沒有從前認為的那樣復雜.

　　通過等價轉化，學生成功地以舊知識帶動新知識，簡化了學習理解過程.

　　也是通過等價轉化，有效優化了解題過程，降低了出錯概率.

　　這種多方向的難度降低，讓學生對于高中數學學習重新燃起了信心.

　　[?] 探究符號語言邏輯趣味

　　符號是數學學科的一個代表性標志.

　　隨著高中數學知識內容的不斷豐富，學生們所接觸到的數學符號也越來越多，除了僅僅表示一個獨立含義的數學符號以外，很多連貫性語言甚至都可以通過符號進行表達，成為數學當中一種重要的語言表達形式.

　　符號語言的熟練掌握，不僅是學生數學文化內涵的明確展現，更是高中數學教學當中的重要要求.

　　教師必須在課堂教學與課后作業環節中，對于學生的符號語言邏輯培養引起足夠重視.

　　例如，在函數的最值問題練習當中有這樣一道習題：試求函數u=+的最值.

　　筆者觀察到，很多學生的解題過程相當冗長，甚至還加入了很多文字描述，使得整個答題看起來既雜亂無章又不夠專業.

　　于是，筆者向學生展示了一種比較理想的解題過程：設x=，y=，則u=x+y，且x2+2y2=16(0≤x≤4，0≤y≤2)，所給函數即可化為以u為參數的直線方程y=-x+u，其與橢圓x2+2y2=16在第一象限當中具有公共點，則umin=2.

　　當其在第一象限相切時，u取最大值.

　　y=-x+u，

　　x2+2y2=16?3x2-4ux+2u2-16=0，解Δ=0，得u=±2，取u=2，所以umax=2.

　　整個過程以符號語言為主，卻能夠清晰表達含義.

　　很多學生在數學學習過程當中，將全部注意力都放在了解題思路的開辟上，卻忽略了對于符號語言的關注.

　　再周密的思維方式，若進行表達時，沒有一個準確的符號語言予以保障，則不僅使得這份解答喪失了數學研究應有的專業性，從答題規范上來講也是不合格的.

　　因此，對于符號語言邏輯的訓練，數學教師必須常抓不懈，每每新出現一個數學符號，就要高強度地鍛煉學生進行準確使用，讓符號語言成為學生的數學表達習慣.

　　長此以往，學生也會漸漸發現數學符號語言的魅力.

　　[?] 探究分類討論邏輯趣味

　　分類討論是在高中數學分析探究過程當中廣泛使用的一種邏輯思維方式.

　　實際上，學生在很多概念的學習和習題的解答過程中，已經多次運用過分類討論的思想了，只是缺少一個明確的點撥和系統的總結，使得學生沒有意識到分類討論邏輯的存在與應用途徑.

　　教師需要做的就是及時點破分類討論邏輯的存在，并且通過系統總結，為學生在具體數學問題的解決當中有意識地加入分類討論邏輯思維奠定基礎.

　　例如，在二次函數的學習過程中，曾出現過這樣一道習題：已知函數f(x)=ax2+(2a-1)x-3在-，2上能夠取得最大值1，試求出a的值.

　　這道題看似難度不大，很多學生卻在第一步便出現了錯誤，即忽略了分類討論.

　　是否應當將這個問題化為求二次函數最值來處理，首先要做的就是針對a是否為0展開討論.

　　只有當我們令a=0，發現f(x)在已知區間上無法取得最大值1時，才能夠繼續討論二次函數的最值.

　　分類討論的邏輯雖然不難，卻無處不在.

　　經過教師的引導，學生對于這種邏輯思維的理解更加深刻了.

　　在面對數學問題時，能夠有條理地整理思路，在適當的時機引入分類討論，使得自己的思考過程與解題過程更加明確，面對復雜數學問題的難度也便隨之降低.

　　[?] 探究函數與方程邏輯趣味

　　在大多數學生眼中，函數與方程指的是高中數學當中的一個重點學習內容.

　　其實，這也同時是解決數學問題過程當中的一個重要的邏輯思維形式.

　　教師首先要扭轉學生所固有的限制性認識，開闊學生視野，使其認識到，要站在一個更高的角度看待函數與方程，并且使之成為能夠適用于多種形式問題解決的邏輯方法.

　　另外，很多學生總是認為，函數與方程的內容抽象復雜，對其總是充滿了畏懼與回避.

　　所以，為了能夠擴大函數與方程的適用范圍，教師還應當巧妙選取一些有特點、能激趣的利用函數與方程邏輯解答的數學問題，引起學生對函數與方程邏輯的興趣.

　　例如，在一次測驗當中，很多學生在一道應用題上犯了難：某商店中有一件商品，當其進貨價為8元，售價為10元時，每天的銷售量是100個.

　　當其售價變為11元時，每天的銷售量是90個.

　　請問，當該商品的出售價為多少時，能夠實現利益最大化?這道題目看似較為開放，實際上，只要通過函數與方程的眼光來看待，它便成為一個函數求最值的問題.

　　我們可以從10元出發，假設每次漲價1元，將漲價x元時的銷售量表示出來，則不難得出商品利潤y關于x的函數方程y=(2+x)(100-10x).

　　經過化簡，很容易便可以得出，當x=4時，y能夠取得最大值360，也就是說，當該商品的售價為14元時，能夠實現利潤最大化.

　　由此可見，函數與方程所指的并不僅僅是這部分知識內容本身，其更加重要的意義在于其在多種數學問題解答過程中的應用.

　　只要深刻理解并且靈活掌握函數與方程思想，學生便會發現，這種邏輯形式能夠適用于多種形式的問題當中.

　　想要讓學生對于高中數學思維邏輯的學習建立產生興趣，首先要使得這部分知識在學生頭腦中由混沌變得明晰.

　　因此，筆者在實際教學中，將看似密不可分的數學思維邏輯整體條理化，分別從數形結合、等價轉化、符號語言、分類討論和函數與方程等五個角度進行探究，讓學生對于這些數學邏輯產生興趣，從而輕松高效地建立起相應的高中數學思維邏輯體系.

　　這對于學生數學學習能力的升華與未來數學學習思路的轉變，都是意義重大的.

　　數學教學中的趣味數學【3】

　　興趣是學生積極探求知識的一種好奇的心理現象。

　　如果說"擁有知識是一種快樂，那么好奇心則是產生這種快樂的源泉"。

　　所以興趣在學生學習的活動中上起到定向、維護、強調的作用。

　　有了興趣，學生的注意力才能夠集中;有了興趣，學生的學習勁頭才能持久;有了興趣，學生的創新意識才能奮發。

　　可見興趣是促進學生主動學習的強大動力和內在力量。

　　對于富于邏輯性又含抽象性的數學來說，尤其要運用趣味數學的手段來激發學生的學習興趣。

　　那么在數學教學課堂上如何進行趣味教學呢?

　　1 以故事激"趣"

　　一個趣味橫生的故事最能敲擊學生的心扉，牽動學生的情弦，引發學生的興趣，特別在講課之前。

　　俗話說，良好的開端是等于成功的一半。

　　在優化數學的課堂教學，老師必須從講課一開始就要使學生在認識上、情感和意志上高度注意，對本節課產生深厚的興趣。

　　為此，老師在導入新課時，既要簡潔明了，又要新鮮、深刻、有趣。

　　如，在講授幾何第一冊的"兩點之間線段最短"時，教師首先舉了這么一個例子：一條狗，見到它的主人時，會箭一般地直奔向他。

　　為什么?也許有人說，它通人性。

　　而我卻認為，這條狗懂得了一個數學道理，且應用了這個數學道理。

　　連狗也懂得的數學道理，作為人的我們還有理由不懂得嗎?這個數學道理是什么呢?這就是我們這節課所要學習的一個重要內容。

　　這樣一個開場白，簡直象磁鐵一樣吸引住了學生。

　　于是每個學生都進入了積極猜想的角色。

　　這樣就創設了一個最佳的學習氛圍，為學習新知識做好了充分的準備。

　　又如，學習反證法時，教師向同學們講了這樣一個故事：相傳古時一賢臣被奸臣所害，判了死刑，皇帝因其曾為朝廷立過大功，采用了用命運來最后判決的方法：用兩張小紙片，一張寫個"活"字，一張寫個"死"字，處決前由他來抽，抽到"活"字便可赦免。

　　可是奸臣歹毒無比，竟作了手腳，使兩張紙片上寫的都是個"死"字。

　　幸虧賢臣的朋友知道了此事并及時告知，賢臣稍加思索便高興的說"我有救了!"當抽紙片時，只見他抽出一張紙片，誰也不讓看，便吞下肚去。

　　監斬官只好看剩下的紙片是什么字，無疑是個"死"字。

　　于是這位賢臣被赦免了。

　　為什么他能死里逃生?這就是反證法思維方法的生動應用。

　　學生聽后，精神振奮，興趣勃勃，求知欲望倍增，個個躍躍欲試，巴不得把反證法學個一絲不漏。

　　2 以動激"趣"

　　這里講的"動"，指的是動手操作。

　　蘇聯著名教育家贊柯夫說"實際操作能力是學生發展的主要因素"。

　　在教學中，通過動手操作可以激發學生的好奇心理和調動學生學習的積極性，可以使學生的有意注意和無意注意交替進行，能提供較充分的感性知識作為抽象思維的依據，從而降低學生學習數學知識的難度，加深學生對所學知識的理解和記憶。

　　如，講到軸對稱圖形的第二課時，教師首先讓每個學生準備好一個等腰三角形，然后要求同學們把等腰三角形折成兩個完全重合的圖形。

　　同學們馬上專心致志地動手操作起來，經過多次嘗試，絕大部分學生都達到了要求。

　　接著提問：折痕是原等腰三角形的什么線?同學們攤開圖形，觀察折痕，然后胸有成竹地作了回答：有的說是中線，有的說是高，還有的說是角平分線……對于這些答案，教師并不急于肯定，再問了個"為什么?"不能說明理由的，師生都可以幫助解釋。

　　最后師生一致總結出：等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是底邊的垂直平分線(或頂角的角平分線所在的直線)。

　　又如，在上"三角形的內角和定理"時，教師同樣要求學生每人準備好一個長方形的紙片。

　　學生都知道長方形的四個角都是直角，所以長方形的內角和為360°。

　　上課時，教師吩咐學生將長方形紙片沿對角線剪開。

　　于是大家發現得到兩個完全一樣的三角形，所以學生很容易得出結論："三角形的內角和等于180°"，然后教師再深入引導學生學習課本上較抽象的證明方法。

　　總之，在課堂上，只要盡量讓學生動手操作，真正的動起來，積極參與到教學中去，整節課就既興趣盎然，高潮迭起，又輕松愉快，效果頗豐。

　　學生對所學的知識自然就留下了深刻的印象。

　　3 以語言激"趣"

　　語言，這里指的是教師的口頭語言的表達，它是教師進行教學的重要手段，是學生感知、獲取知識的重要途徑。

　　所以，提高教師在課堂上語言的藝術性和趣味性，從而利用語言的魅力來進行教學，就很有必要。

　　特別是對某些具有規律性的知識，如果教師能用準確生動的語言進行總結，甚至使用口訣教學，都會極大地激發學生學習的興趣，從而把這些規律性的知識牢牢地刻在腦子里。

　　如，在講： a =a(a≥0)

　　-a(a<0)時，為了加深學生的記憶，把a≥0比喻為一位身體健康的人，在寒冷的冬天，從溫暖的房子里，可以直接走出來;把a<0比喻為一位身體虛弱的人，在寒冷的冬天，從來溫暖的房子里走出來時，以防感冒，給加上一條毛巾(即前面加上負號)。

　　這種形象生動的比喻，不僅令學生耳目一新，而且入心入腦地記住了去掉絕對值符號的方法。

　　又如，在講解簡化符號時，對于兩個符號，可記住這樣的口訣：正正為正，負負為正，正負為負，負正為負。

　　或簡稱為：同號為正，異號為負。

　　同學們都情不自禁地跟著念叨。

　　當然還可以進一步揭示，不論有多少正負號，都可遵循："正號都不要，偶數個負號為正，奇數個負號為負"這一規律。

　　象這種簡明扼要、順口有趣的口訣教學，學生確實非常感興趣，可以說是樂不可支。

　　如此這般，學生掌握知識的程度也就達到了意想不到的效果。

　　4 以電教激趣

　　在傳統的數學教學中，教師所借助的教學工具只不過是粉筆、圓規、三角板、量角器而已。

　　這樣的數學教學未免單調無趣，也與我們所處的社會日新月異，信息化發展突飛猛進的形勢相互矛盾。

　　新課標下的數學應該是充滿生機、充滿活力，是最有吸引力的"磁性"課堂。

　　而大量的電化教學實踐已經證明，運用電教手段可以使教學內容更加形象、具體、直觀，便于學生理解和接受，從而有效地調動學生的積極性。

　　其中，鮮明生動的幻燈圖像和電腦動畫圖像極大地激發著學生的興趣，學生常常被它們深深地吸引。

　　例如，在教學"火車過橋"這一應用題時，教師運用投影儀生動形象地演示了火車行駛的路線，學生們滿懷興趣地從投影中清楚地看到了火車通過大橋行駛的路程就是橋長與車長的和，從而不多費口舌便輕易地解決了這個難題。

　　此外，在課堂教學中教師恰當地運用舉反例，組織學生進行搶答競賽，做一些與數學有關的小游戲，鼓勵學生大膽發言，提出一些討論性的問題，讓學生各抒己見，暢所欲言;把課堂移向校園，指導學生運用數學知識丈量校園面積，計算教學樓的高度等等方法使學生有機會展示自我，挑戰自我，完善自我，打破那些單一的思維定勢，提升分析問題、解決問題的能力。

　　毫無疑問，這些都可以令學生覺得興味無窮，大大激發了學生的學習興趣，提高了學生的自學能力和創新能力。

　　實踐證明，在數學課堂教學中，只要精心設計出一套激趣方法，并堅持運用趣味教學這一手段，就能很好地調動學生的積極性，充分發揮學生的主體作用，對不斷提高學生的邏輯思維能力和促進學生創新能力的形成，有著事半功倍的效果。

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