工科研究生現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)方法的若干體會(huì)論文

　　摘要：文章從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的演變趨勢和特征出發(fā)，結(jié)合其對工科研究生數(shù)學(xué)課堂教學(xué)帶來的挑戰(zhàn)以及目前現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中存在的主要問題，指出了未來工科研究生現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教改的基本方向，并就如何更好地開展該課程教學(xué)提出了一些心得體會(huì)。

　　關(guān)鍵詞：現(xiàn)代數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；工科研究生

　　一、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的演變趨勢和特征

　　多年來，伴隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，人們難以給數(shù)學(xué)下一個(gè)確切的定義，包括其特征刻畫。恩格斯在《反杜林論》中，將數(shù)學(xué)定義為“純數(shù)學(xué)的研究對象是客觀世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系”。空間形式即為幾何學(xué)，這在客觀上完整地概括了19世紀(jì)以前數(shù)學(xué)的對象和本質(zhì)，因而被譽(yù)為“經(jīng)典定義”。但是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的大發(fā)展衍生出的許多新特征，已經(jīng)不能為經(jīng)典的數(shù)學(xué)定義所概括。因?yàn)楝F(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)已成為非常抽象的學(xué)問，并且完全演變成一種無物質(zhì)內(nèi)容的符號系統(tǒng)和一定公理規(guī)則下的推演技術(shù)。數(shù)學(xué)的這種離開物質(zhì)內(nèi)容的特有空洞性，加上它那曲折而奧妙的邏輯推演技術(shù)，造成了數(shù)學(xué)特殊的認(rèn)知難度。

　　然而，現(xiàn)代數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中越來越展示出巨大的力量。眾所周知，它已成為物理科學(xué)的語言和設(shè)計(jì)模型以及探索自然機(jī)理的手段。同時(shí)它又是其他自然科學(xué)、工程科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、管理科學(xué)甚至一切應(yīng)用科學(xué)與技術(shù)的不可或缺的重要工具。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的這種無比廣延的普適性，也正充分地說明了它對現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界無限高遠(yuǎn)的概括性和抽象性。這種抽象性越高，越與人的感官能及的直接經(jīng)驗(yàn)相去甚遠(yuǎn)，同時(shí)導(dǎo)致在認(rèn)知上就更難，但是人們又不得不接觸它、接受它，因?yàn)樗�已�?jīng)滲入到人類生活的一切領(lǐng)域。

　　二、工科研究生現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀、問題和挑戰(zhàn)

　　工科研究生現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育是工科研究生教育必不可少的重要組成部分。對工科研究生的教育，必須培養(yǎng)其獨(dú)立解決科學(xué)技術(shù)發(fā)展中出現(xiàn)的理論和實(shí)際問題的能力。由于數(shù)學(xué)的應(yīng)用已經(jīng)直接或間接地觸及到了人類社會(huì)生活的幾乎一切領(lǐng)域，因此大多數(shù)工科院校的研究生課程設(shè)置里，還包括多門現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程，以便學(xué)生掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)技術(shù)。這同時(shí)也說明要培養(yǎng)屬于高級專門技術(shù)人才的碩士和博士，必須具備較高的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和較豐富的數(shù)學(xué)知識，否則就難于在當(dāng)代科技的發(fā)展中作出開創(chuàng)性的成果。

　　但是工科研究生現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程教學(xué)效果很不理想。目前工科研究生的主要來源是工科院校本科應(yīng)屆畢業(yè)生。大多數(shù)院校工科本科生的數(shù)學(xué)課程主要有“高等數(shù)學(xué)”、“線性代數(shù)”、“概率統(tǒng)計(jì)”，而其他的數(shù)學(xué)課程如“復(fù)變函數(shù)與積分變換”、“離散數(shù)學(xué)”等一般只作為選修課程。也就是大多數(shù)入學(xué)研究生具備的這些數(shù)學(xué)知識多數(shù)還是屬于較古典的內(nèi)容，近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識特別是接近實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識儲(chǔ)備尤為不足。在研究生階段，大部分工科院校考慮到實(shí)際的需求，給研究生開設(shè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程呈現(xiàn)多樣化的趨勢，以加強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和修養(yǎng)，包括抽象思維能力和邏輯思維能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，但效果并不理想。因?yàn)槠渲猩婕暗谋匦蕃F(xiàn)代數(shù)學(xué)課程包括“矩陣論”、“泛函分析”以及“數(shù)值分析”等課程總體上仍屬于基礎(chǔ)理論課，其高度的抽象性和實(shí)際的應(yīng)用存在較大的差距。一方面，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)理論性較強(qiáng)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)課包括分支領(lǐng)域時(shí)，他們往往缺乏興趣，逃課、開小差、打瞌睡的現(xiàn)象比較普遍；另一方面，學(xué)生不愿意學(xué)，老師也就很難提起精神認(rèn)真教授對工科研究生來說非常重要的數(shù)學(xué)課了。

　　三、工科研究生現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革勢在必行

　　工科研究生的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是研究生直接學(xué)習(xí)和吸收數(shù)學(xué)知識的最重要的途徑。那么如何通過課堂教學(xué)使研究生更好地吸收現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法、提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決問題的能力呢？筆者認(rèn)為應(yīng)該對現(xiàn)有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式進(jìn)行改革。

　　從管理的角度來講，需要充分認(rèn)識到研究生現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的重要性。一方面，在課程的設(shè)置上，既要重視培養(yǎng)和提高研究生的數(shù)學(xué)抽象思維能力和邏輯思維能力這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)，又要重視加強(qiáng)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力；另一方面，要通過宣傳和思想教育，讓研究生認(rèn)識到現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的重要性，使其更加積極地投入到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。   對于教師而言，要不斷地創(chuàng)新現(xiàn)有的教學(xué)方法。就職業(yè)道德而言，每一位給研究生教授現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教師都要認(rèn)真對待每一次的課堂教學(xué)；充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，盡力安排好課堂教學(xué)內(nèi)容；細(xì)心研究如何教好每一堂課，不能照本宣科，力求授課內(nèi)容淺顯易懂，吸引學(xué)生的聽課興趣；特別是可以從本學(xué)科的起源、發(fā)展和走向即應(yīng)用于何處來講，使學(xué)生對所學(xué)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域有一個(gè)總體上的了解和把握。

　　要注重加強(qiáng)學(xué)生和老師之間的良性互動(dòng)。一方面，鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)提出其在專業(yè)學(xué)習(xí)過程中遇到的需要借助數(shù)學(xué)手段才能解決的實(shí)際問題，授課教師可以為其提供數(shù)學(xué)思路和方法，幫助其解決實(shí)際問題；另一方面，教師可以結(jié)合所講授的課程內(nèi)容和方法為學(xué)生多搜集一些實(shí)際的應(yīng)用案例，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、主動(dòng)性和積極性。比如在學(xué)習(xí)“泛函”這個(gè)抽象的概念時(shí)，由于其原型是函數(shù)，學(xué)生接受起來相對容易。為了將該概念和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合起來，可以讓學(xué)生嚴(yán)格按照該概念，結(jié)合自己專業(yè)構(gòu)造一個(gè)泛函出來。這個(gè)習(xí)題看似簡單，但學(xué)生在構(gòu)造過程中，需要結(jié)合自己專業(yè)概念，先要構(gòu)造一個(gè)線性空間來，然后才能在該線性空間上構(gòu)造出泛函。這種方法既可以鍛煉學(xué)生思考問題的能力而且也有助于這個(gè)概念的消化和吸收。

　　四、工科研究生現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的心得體會(huì)

　　前已述及，現(xiàn)代數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出向更高級理性化方向演化的趨勢，并且更為概括和抽象，距離經(jīng)驗(yàn)也更遠(yuǎn)。為了理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)和特征，在教學(xué)方法上應(yīng)該提倡反璞歸真，不僅要了解數(shù)學(xué)的物質(zhì)源泉，了解昨日的數(shù)學(xué)，還更應(yīng)了解它們的演化、發(fā)展和應(yīng)用。比如在講“群”這個(gè)非常抽象的代數(shù)概念時(shí)，如果直接把群的定義講給學(xué)生，學(xué)生肯定難以接受。教師可以先從學(xué)生知道的最簡單的“整數(shù)群加群”講起。首先，寫出整數(shù)加法滿足的結(jié)合律，由這里引出半群的概念；再給出整數(shù)“0”與任意整數(shù)相加都得任意整數(shù)的等式和任意整數(shù)和其相反數(shù)之和都等于“0”的等式，由此引出群的概念。通過該講解過程，學(xué)生就能了解群這個(gè)概念是一個(gè)高度抽象的概念，其原型原來就是從中小學(xué)就知道的整數(shù)集合帶上加法運(yùn)算。在學(xué)生了解“群”這個(gè)概念后，可以讓他們結(jié)合自己專業(yè)構(gòu)造一個(gè)群和半群的例子進(jìn)一步加深對“群”的理解。

　　再如講解其他的一些抽象概念時(shí)，教師均可以從這個(gè)概念的原型或引入背景出發(fā)來講解。比如學(xué)習(xí)微分流形時(shí)，可以先講解多元映射的概念。由于多元映射的最簡單情形就是一元函數(shù)，不妨啟發(fā)學(xué)生回憶一元函數(shù)微積分的內(nèi)容，并且告訴學(xué)生關(guān)于多元映射也有類似于一元函數(shù)的微積分學(xué)，而且這些微積分學(xué)在學(xué)習(xí)微分流形時(shí)也會(huì)用到。其他內(nèi)容不用講，學(xué)生就明白了關(guān)于多元映射主要有哪些基本內(nèi)容，可以用到哪里等等。這樣學(xué)生就理解了所學(xué)學(xué)科的發(fā)展過程，并且在這個(gè)過程中吸收了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想及方法。這需要授課教師有很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和專業(yè)知識，對所講學(xué)科的發(fā)展演化過程了如指掌，否則難以產(chǎn)生良好的效果。

　　由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，在教法上不可能有什么“竅門”而言，只能運(yùn)用和依靠專業(yè)知識和專業(yè)素養(yǎng)，對學(xué)生做到“細(xì)教精練”。現(xiàn)代數(shù)學(xué)接觸的新理論新概念特別多，這不僅要求教師在很短的幾十課時(shí)的教學(xué)中，把大量的信息和數(shù)學(xué)思想方法傳授給學(xué)生，同時(shí)還要求教師自身具有高度的概括精練能力，能夠?qū)δ硞�(gè)新概念的要點(diǎn)一語中的。比如在學(xué)習(xí)“小波分析”時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有限，泛函分析知識儲(chǔ)備不足，不能一上課就講小波分析的概念，可以從Fourier變換中的Fourier級數(shù)講起，因?yàn)檠芯可鷮�Fourier級數(shù)應(yīng)該有印象，問題是雖然學(xué)生知道Fourier級數(shù)，但也不一定知道它的真正物理含義所以必須給學(xué)生講清楚這一點(diǎn)，也就是Fourier級數(shù)（或Fourier變換）的“濾波”作用的實(shí)質(zhì)。就“濾波”而言，教師可以從多個(gè)角度如幾何的角度、分析的角度講述，直到學(xué)生明白為止。在此基礎(chǔ)上，再學(xué)習(xí)小波分析原理時(shí)，就非常容易了，因此在這里花費(fèi)時(shí)間講解是值得的。沿著這個(gè)要點(diǎn)展開，就可以自然而然地引入到小波分析上了。

　　總之，現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革勢在必行。課程的設(shè)置既要符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢，又要兼顧現(xiàn)實(shí)的發(fā)展需求；既要培養(yǎng)和提高學(xué)生的抽象思維和邏輯思維能力，又要加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力。在課堂教學(xué)中，應(yīng)該提倡反璞歸真，不僅要了解所講學(xué)科的起源，更要了解其演化、發(fā)展和應(yīng)用方向，同時(shí)加強(qiáng)老師自身的修養(yǎng)和課堂上師生間的良性互動(dòng)。

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