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高中函數(shù)知識總結(jié)
導(dǎo)語：函數(shù)（function），最早由中國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯，出于其著作《代數(shù)學(xué)》。以下是小編整理高中函數(shù)知識總結(jié)的資料，歡迎閱讀參考。
1. 映射定義：設(shè)非空數(shù)集A，B，若對集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對應(yīng)，則稱從A到B的對應(yīng)為映射
2. 若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B可建立nm個映射
3.函數(shù)定義：函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A，B上的映射，此時稱數(shù)集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應(yīng)法則，值域構(gòu)成了函數(shù)的三要素
4.相同函數(shù)的判斷方法：①定義域、值域；②對應(yīng)法則(兩點必須同時具備)
5.求函數(shù)的定義域常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義⑥注意同一表達式中的兩變量的取值范圍是否相互影響
6.函數(shù)解析式的求法：
①定義法（拼湊）： ②換元法： ③待定系數(shù)法 ④賦值法7.函數(shù)值域的求法：
①換元配方法。如果一個函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式，那么將這個函數(shù)的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域。②判別式法。一個二次分式函數(shù)在自變量沒有限制時就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以 dx2+ex+f移項整理成一個x的一元二次方程，方程有實數(shù)解則判別式大于等于零，得到一個關(guān)于y的不等式，解出y的范圍就是函數(shù)的值域。
③單調(diào)性法。如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的，那么就可以利用端點的函數(shù)值來求出值域
8.函數(shù)單調(diào)性的證明方法:
第一步：設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個任意的值，且x1<x2；
第二步：作差(x1)-(x2)，并對“差式”變形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”；
第三步：判斷差式(x1)-(x2)的正負號，從而證得其增減性
9、函數(shù)圖像變換知識
①平移變換：
形如：y=f(x+a)：把函數(shù)y=f(x)的圖象沿ｘ軸方向向左或向右平移
｜a｜個單位，就得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象。
形如：y=f(x)+a：把函數(shù)y=f(x)的圖象沿ｙ軸方向向上或向下平移｜a｜個單位，就得到y(tǒng)=f(x)+a的圖象
②.對稱變換 y=f(x)→ y=f(－x),關(guān)于ｙ軸對稱
y=f(x)→ y=－f(x) ,關(guān)于ｘ軸對稱
③.翻折變換
y=f(x)→y=f|x|, (左折變換)
把ｙ軸右邊的圖象保留，然后將ｙ軸右邊部分關(guān)于ｙ軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|（上折變換）
把ｘ軸上方的圖象保留，ｘ軸下方的圖象關(guān)于ｘ軸對稱
10.互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系：原函數(shù)的定義域和值域分別是反函數(shù)的值域及定義域；
11.求反函數(shù)的步驟：①求反函數(shù)的定義域（即y=f(x)的值域）②將x,y互換，得y=f–1 (x)；③將y=f(x)看成關(guān)于x的方程，解出x=f–1 (y)，若有兩解，要注意解的選擇；。
12.互為反函數(shù)的圖象間的關(guān)系：關(guān)于直線y=x對稱；
13. 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象交點可在直線y=x上，也可是關(guān)于直線y=x對稱的兩點
14.原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性
15、在定義域上單調(diào)的函數(shù)才具有反函數(shù)；反之，并不成立（如y=1/x）
16．復(fù)合函數(shù)的定義域求法：
① 已知y=f(x)的定義域為A，求y=f[g(x)]的定義域時，可令g(x)A，求得x的取值范圍即可。
② 已知y=f[g(x)]的定義域為A，求y=f(x)的定義域時，可令xA，求得g(x)的函數(shù)值范圍即可。
17.復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的值域求法：
首先根據(jù)定義域求出u=g(x)的取值范圍A，
在uA的情況下,求出y=f(u)的值域即可。
18 .復(fù)合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同，則函數(shù)是增函數(shù)；單調(diào)性不同則函數(shù)是減函數(shù)。增增、減減為增；增減、減增才減
①f(x)與f(x)+c (c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性
②f(x)與c·f(x)當(dāng)c>0是單調(diào)性相同，當(dāng)c<0時具有相反的單調(diào)性
③當(dāng)f(x)恒不為0時，f(x)與1/f(x)具有相反的單調(diào)性
④當(dāng)f(x)恒為非負時，f(x)與具有相同的單調(diào)性
⑤當(dāng)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)時，f(x)+g(x)也是增(減)函數(shù)
設(shè)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)，則f(x)·g(x)當(dāng)f (x)，g(x)兩者都恒大于0時也是增(減)函數(shù)，當(dāng)兩者都恒小于0時是減(增)函數(shù)
19.二次函數(shù)求最值問題：根據(jù)拋物線的對稱軸與區(qū)間關(guān)系進行分析，
Ⅰ、若頂點的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則
a>0時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
a<0時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得；
Ⅱ、若頂點的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則
a>0時：最小值在離對稱軸近的端點處取得，最大值在離對稱軸遠的端點處取得；
a<0時：最大值在離對稱軸近的端點處取得，最小值在離對稱軸遠的端點處取得
20.一元二次方程實根分布問題解法：
① 將方程的根視為開口向上的二次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)
②從判別式、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值三方面分析限制條件
21.分式函數(shù)y=(ax+b)/(cx+d)的圖像畫法：
① 確定定義域漸近線x=-d/c ②確定值域漸近線y=a/c③根據(jù)y軸上的交點坐標(biāo)確定曲線所在象限位置。
22.指數(shù)式運算法則 23.對數(shù)式運算法則：
24.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關(guān)系：
在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像（逆時針方向）越靠近y軸。
25.對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關(guān)系：
在第一象限內(nèi)，底數(shù)越大，圖像（順時針方向）越靠近x軸。
26. 比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較
27.抽象函數(shù)的性質(zhì)所對應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：
①f(x1＋x２)＝f(x１)+f(x２)正比例函數(shù)f(x)=kx(k0)
②f(x1＋x２)＝f(x１)·f(x２)；f(x1-x２)＝f(x１)÷f(x２) y=ax；
③f(x1x2)=f(x1)+f(x2)；f(x1/x２)＝f(x１)-f(x２) y=logax
28.如果f(a+x)＝f(b-x)成立，則y＝f(x)圖像關(guān)于x＝(a+b)/2對稱;
特別是，f(x)＝f(-x)成立，則y＝f(x)圖像關(guān)于y軸對稱
29.a>f(x)恒成立a>f(x)的最大值
a<f(x)恒成立a<f(x)的最小值
30. a>f(x)有解a>f(x)的最小值
a<f(x) 有解a<f(x)的最大值
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