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高中函數(shù)知識總結
導語:函數(shù)(function),最早由中國清朝數(shù)學家李善蘭翻譯,出于其著作《代數(shù)學》。以下是小編整理高中函數(shù)知識總結的資料,歡迎閱讀參考。
1. 映射定義:設非空數(shù)集A,B,若對集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b與之對應,則稱從A到B的對應為映射
2. 若集合A中有m個元素,集合B中有n個元素,則從A到B可建立nm個映射
3.函數(shù)定義:函數(shù)就是定義在非空數(shù)集A,B上的映射,此時稱數(shù)集A為定義域,象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域,對應法則,值域構成了函數(shù)的三要素
4.相同函數(shù)的判斷方法:①定義域、值域;②對應法則(兩點必須同時具備)
5.求函數(shù)的定義域常涉及到的依據(jù)為①分母不為0;②偶次根式中被開方數(shù)不小于0;③對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零;⑤實際問題要考慮實際意義⑥注意同一表達式中的兩變量的取值范圍是否相互影響
6.函數(shù)解析式的求法:
、俣x法(拼湊): ②換元法: ③待定系數(shù)法 ④賦值法7.函數(shù)值域的求法:
、贀Q元配方法。如果一個函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式,那么將這個函數(shù)的右邊配方,通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域。②判別式法。一個二次分式函數(shù)在自變量沒有限制時就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以 dx2+ex+f移項整理成一個x的一元二次方程,方程有實數(shù)解則判別式大于等于零,得到一個關于y的不等式,解出y的范圍就是函數(shù)的值域。
③單調(diào)性法。如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴格單調(diào)的,那么就可以利用端點的函數(shù)值來求出值域
8.函數(shù)單調(diào)性的證明方法:
第一步:設x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個任意的值,且x1<x2;
第二步:作差(x1)-(x2),并對“差式”變形,主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;
第三步:判斷差式(x1)-(x2)的正負號,從而證得其增減性
9、函數(shù)圖像變換知識
、倨揭谱儞Q:
形如:y=f(x+a):把函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸方向向左或向右平移
。黙|個單位,就得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象。
形如:y=f(x)+a:把函數(shù)y=f(x)的圖象沿y軸方向向上或向下平移|a|個單位,就得到y(tǒng)=f(x)+a的圖象
、.對稱變換 y=f(x)→ y=f(-x),關于y軸對稱
y=f(x)→ y=-f(x) ,關于x軸對稱
③.翻折變換
y=f(x)→y=f|x|, (左折變換)
把y軸右邊的圖象保留,然后將y軸右邊部分關于y軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|(上折變換)
把x軸上方的圖象保留,x軸下方的圖象關于x軸對稱
10.互為反函數(shù)的定義域與值域的關系:原函數(shù)的定義域和值域分別是反函數(shù)的值域及定義域;
11.求反函數(shù)的步驟:①求反函數(shù)的定義域(即y=f(x)的值域)②將x,y互換,得y=f–1 (x);③將y=f(x)看成關于x的方程,解出x=f–1 (y),若有兩解,要注意解的選擇;。
12.互為反函數(shù)的圖象間的關系:關于直線y=x對稱;
13. 原函數(shù)與反函數(shù)的圖象交點可在直線y=x上,也可是關于直線y=x對稱的兩點
14.原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性
15、在定義域上單調(diào)的函數(shù)才具有反函數(shù);反之,并不成立(如y=1/x)
16.復合函數(shù)的定義域求法:
① 已知y=f(x)的定義域為A,求y=f[g(x)]的定義域時,可令g(x)A,求得x的取值范圍即可。
② 已知y=f[g(x)]的定義域為A,求y=f(x)的定義域時,可令xA,求得g(x)的函數(shù)值范圍即可。
17.復合函數(shù)y=f[g(x)]的值域求法:
首先根據(jù)定義域求出u=g(x)的取值范圍A,
在uA的情況下,求出y=f(u)的值域即可。
18 .復合函數(shù)內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同,則函數(shù)是增函數(shù);單調(diào)性不同則函數(shù)是減函數(shù)。增增、減減為增;增減、減增才減
①f(x)與f(x)+c (c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性
②f(x)與c·f(x)當c>0是單調(diào)性相同,當c<0時具有相反的單調(diào)性
、郛攆(x)恒不為0時,f(x)與1/f(x)具有相反的單調(diào)性
、墚攆(x)恒為非負時,f(x)與具有相同的單調(diào)性
⑤當f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù)時,f(x)+g(x)也是增(減)函數(shù)
設f(x),g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)·g(x)當f (x),g(x)兩者都恒大于0時也是增(減)函數(shù),當兩者都恒小于0時是減(增)函數(shù)
19.二次函數(shù)求最值問題:根據(jù)拋物線的對稱軸與區(qū)間關系進行分析,
、瘛⑷繇旤c的橫坐標在給定的區(qū)間上,則
a>0時:在頂點處取得最小值,最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得;
a<0時:在頂點處取得最大值,最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得;
、、若頂點的橫坐標不在給定的區(qū)間上,則
a>0時:最小值在離對稱軸近的端點處取得,最大值在離對稱軸遠的端點處取得;
a<0時:最大值在離對稱軸近的端點處取得,最小值在離對稱軸遠的端點處取得
20.一元二次方程實根分布問題解法:
、 將方程的根視為開口向上的二次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標
②從判別式、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值三方面分析限制條件
21.分式函數(shù)y=(ax+b)/(cx+d)的圖像畫法:
、 確定定義域漸近線x=-d/c ②確定值域漸近線y=a/c③根據(jù)y軸上的交點坐標確定曲線所在象限位置。
22.指數(shù)式運算法則 23.對數(shù)式運算法則:
24.指數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關系:
在第一象限內(nèi),底數(shù)越大,圖像(逆時針方向)越靠近y軸。
25.對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)關系:
在第一象限內(nèi),底數(shù)越大,圖像(順時針方向)越靠近x軸。
26. 比較兩個指數(shù)或對數(shù)的大小的基本方法是構造相應的指數(shù)或對數(shù)函數(shù),若底數(shù)不相同時轉化為同底數(shù)的指數(shù)或對數(shù),還要注意與1比較或與0比較
27.抽象函數(shù)的性質所對應的一些具體特殊函數(shù)模型:
、賔(x1+x2)=f(x1)+f(x2)正比例函數(shù)f(x)=kx(k0)
、趂(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2) y=ax;
、踗(x1x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2) y=logax
28.如果f(a+x)=f(b-x)成立,則y=f(x)圖像關于x=(a+b)/2對稱;
特別是,f(x)=f(-x)成立,則y=f(x)圖像關于y軸對稱
29.a>f(x)恒成立a>f(x)的最大值
a<f(x)恒成立a<f(x)的最小值
30. a>f(x)有解a>f(x)的最小值
a<f(x) 有解a<f(x)的最大值
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