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八年級反比例函數(shù)教案
知識技能目標(biāo)
1.理解反比例函數(shù)的圖象是雙曲線,利用描點法畫出反比例函數(shù)的圖象,說出它的性質(zhì);
2.利用反比例函數(shù)的圖象解決有關(guān)問題.
過程性目標(biāo)
1.經(jīng)歷對反比 例函數(shù)圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質(zhì);
2.探索反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì),體會用數(shù) 形結(jié)合思想解數(shù)學(xué)問題.
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)情境
上節(jié)的練習(xí)中，我們畫出了問題1中函數(shù) 的圖象，發(fā)現(xiàn)它并不是直線.那么它是怎么樣的曲線呢?本節(jié)課，我們就來討論一般的反比例函數(shù) (k是常數(shù)，k0)的圖象，探究它有什么性質(zhì).
二、探究歸納
1.畫出函數(shù) 的圖象.
分析 畫出函數(shù)圖象一般分 為列表、描點、連線三個步驟，在反比例函數(shù)中自變量x 0.
解 1.列表：這個函數(shù)中自變量x的取值范圍是不等于零的一切實數(shù)，列出x與y的對應(yīng)值：
2.描點：用表里各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出在京各點點(-6,-1) 、(-3,-2)、(-2,-3)等.
3.連線：用平滑的 曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的 第一個分支;用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支.這兩個分支合起來，就是反比例函數(shù)的圖象.
上述圖象，通常稱為雙曲線(hyperbola).
提問 這兩條曲線會與x軸、y軸相交嗎?為什么?
學(xué)生試一試：畫出反比例函數(shù) 的圖象(學(xué)生動手畫反比函數(shù)圖象，進一步掌握畫函數(shù)圖象的步驟).
學(xué)生討論、交流以下問題，并 將討論、交流的結(jié)果回答 問題.
1.這個函數(shù)的圖 象在哪兩個象限?和函數(shù) 的圖象 有什么不同?
2.反比例函數(shù) (k0)的圖象在哪兩個象限內(nèi)?由什么確定?
3.聯(lián)系一次函數(shù)的性質(zhì)，你能否總結(jié)出反比例函數(shù)中隨著自變量x的增加，函數(shù)y將怎樣變化?有什么規(guī)律?
反比例函數(shù) 有下列性質(zhì)：
(1)當(dāng)k0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而減少;
(2)當(dāng)k0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而增加.
注 1.雙曲線的兩個分支與x軸和y軸沒有交點;
2.雙曲線的兩個分支關(guān)于原點成中心對稱.
以上兩點性質(zhì)在上堂課的問題1和問題2中反映了怎樣的實際意義?
在問題1中反映了汽車比自行車的速 度快，小華乘汽車比騎自行車到鎮(zhèn)上的時間少.
在問題2中反映了在面積一定的情況下,飼養(yǎng)場的一邊越長,另一邊越小.
三、實踐應(yīng)用
例1 若反比例函數(shù) 的圖象在第二、四象限，求m的值.
分析 由反比例函 數(shù)的定義可知： , 又由于圖象在二、四象限，所以m+10，由這兩個條件可解出m的值.
解 由題意， 得 解得 .
例2 已知反比例函數(shù) (k0)，當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大，求一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過的象限.
分析 由于反比例函數(shù) (k0 )，當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大，因此k0，而一次函數(shù)y=kx-k中，k0，可知，圖象過二、四象限，又-k0，所以直線與y軸的交點在x軸的上方.
解 因為反比例函數(shù) (k0)，當(dāng)x0時，y隨x的增大而增大，所以k0，所以一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過一、二、四象限.
例3 已知反比例函數(shù)的圖象過點(1,-2).
(1)求這個函數(shù)的解析式，并畫出圖象;
(2)若點A(-5,m)在圖象上，則點A關(guān)于兩坐標(biāo)軸和原點的對稱點是否還在圖象上?
分析 (1) 反比例函數(shù)的圖象過點(1,-2)，即當(dāng)x=1時，y=-2.由待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)解析式;再根據(jù)解析式，通過列表、描點、連線可畫出反比例函數(shù)的圖象;
(2)由點A在反比例函數(shù)的圖象上，易求出m的值，再驗證點A關(guān)于兩坐標(biāo)軸和原點的對稱點是否在圖象上.
解 (1)設(shè)：反比例函數(shù)的解析式為： (k0).
而反比例函數(shù)的圖象過 點(1,-2)，即當(dāng)x=1時，y=-2.
所以 ，k=-2.
即反比例函數(shù)的解析式為： .
(2)點A(-5,m)在反比例函數(shù) 圖象上，所以 ，
點A的坐標(biāo)為 .
點A關(guān)于x軸的對稱點 不在這個圖象上;
點A關(guān)于y軸的對稱點 不在這個圖象上;
點A關(guān)于原點的對稱點 在這個圖象上;
例4 已知函數(shù) 為反比例函數(shù).
(1)求m的值;
(2)它的圖象在第幾象限內(nèi)?在各象限內(nèi)，y隨x的增大如何變化?
(3)當(dāng)-3 時，求此函數(shù)的最大值和最小值.
解 (1)由反比例函數(shù)的定義可知： 解得，m=-2.
(2)因為-20，所以反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，在各象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.
(3)因為在第個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，
所以當(dāng)x= 時，y最大值= ;
當(dāng)x=-3時，y最小值= .
所以當(dāng)-3 時，此函數(shù)的最大值為8，最小值為 .
例5 一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米.
(1)寫出用高表示長的函數(shù)關(guān) 系式;
(2)寫出自變量x的取值范圍;
( 3)畫出函數(shù)的圖象.
解 (1)因為100=5xy,所以 .
(2)x0.
(3)圖象如下：
說明 由于自變量x0,所以畫出的反比例函數(shù)的圖象只是位于第一象限內(nèi)的一個分支.
四、交流反思
本節(jié)課學(xué)習(xí)了畫反比例函數(shù)的圖象和探討了反比例函數(shù)的性質(zhì).
1.反比例函數(shù)的圖象是雙曲線(hyperbola).
2.反比例函數(shù)有如下性質(zhì)：
(1)當(dāng)k0時，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，曲線 從左向右下降，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而減少;
(2)當(dāng)k0時，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內(nèi)y隨x的增加而增加.
五、檢測反饋
1.在同一直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象：
(1) ; (2) .
2.已知y是x的反比例函數(shù)，且當(dāng)x=3時，y=8,求：
(1)y和x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng) 時，y的值;
(3)當(dāng)x取 何值時， ?
3.若反比例函數(shù) 的圖象在所在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，求n的值.
4.已知反比例函數(shù) 經(jīng)過點A(2,-m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值;
(2)若圖象上有兩點P1(x1,y1)和P2( x2,y2)，且x1 x2，試比較y1和 y2的大小.
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