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探索勾股數(shù)
又快到一年一季的畢業(yè)季節(jié)啦，各大高校的童鞋們又要開(kāi)始瘋狂滴寫(xiě)論文改論文啦，小編在這里對(duì)你們表示深深的同情。同情之余，小編也為大家?guī)?lái)了數(shù)學(xué)畢業(yè)論文，供大家閱讀參考!
摘要：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整數(shù)，那么a、b、c稱為勾股數(shù)。如果a、b、c 三者互質(zhì)(它們的最大公因數(shù)是1)，它們就稱為素勾股數(shù)。勾股數(shù)中含有許多規(guī)律，我們對(duì)其進(jìn)行了探索。
關(guān)鍵詞：勾股數(shù) 素勾股數(shù) 奇數(shù) 偶數(shù) 質(zhì)數(shù)
如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整數(shù)，那么a、b、c稱為勾股數(shù)。如果正整數(shù)a、b、 c是勾股數(shù)，那么易證它們的正整數(shù)倍數(shù)也是勾股數(shù)：∵a2+b2=c2，∴(na)2 +(nb)2 =n2a2+n2b2=n2(a2+b2)= n2c2=(nc)2,即正整數(shù)na、nb、nc也是勾股數(shù)。如果a,b, c三者互質(zhì)(它們的最大公因數(shù)是1)，它們就稱為素勾股數(shù)。
其實(shí)這是生活在2500年前的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在擺放小石子時(shí)發(fā)現(xiàn)的：當(dāng)小石子的數(shù)目是l、3、6、10等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正三角形，他把這些數(shù)叫做三角形數(shù);當(dāng)小石子的數(shù)目是l、4、9、16等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正方形，他把這些數(shù)叫做正方形數(shù)……如圖，在一些正方形數(shù)里(0當(dāng)作石子)，左上角第一個(gè)框內(nèi)的數(shù)是正方形n2，;第二框內(nèi)的正方形數(shù)是(n+1)2。
顯然，(n+1)2-n2=2n+1。若2n+1是完全平方數(shù)，可設(shè)2n+1=w2，而它又是奇數(shù)，所以w必是奇數(shù)。再設(shè)w=2p+1,則：
2n+1=(2p+1)2=4p2+4p+1,則n=2p2+2p=2p(p+1),
(n+1)2=[2p(p+1)+1]2，n2=[2p(p+1)]2。
所以[2p(p+1)+1]2-[2p(p+1)]2=(2p+1)2，這組勾股數(shù)也叫畢達(dá)哥拉斯數(shù)。
幾百年后，希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophontus，約250)發(fā)現(xiàn)了2mn、m2-n2、m2+n2這組勾股數(shù)，他在《算術(shù)》一書(shū)中論述了求解x2+y2=z2的一般解的問(wèn)題。
顯然，最短邊為偶數(shù)時(shí)，勾股數(shù)有此規(guī)律，而且這些勾股數(shù)都是素勾股數(shù)。
所以不小于3的自然數(shù)為勾股，必存在一組勾股數(shù)。素勾股數(shù)(不是所有的素勾股數(shù))很多都可用上述列式找出，這亦可推論到，數(shù)學(xué)上存在無(wú)窮多的素勾股數(shù)。有些勾股數(shù)組可以有同一個(gè)最小的勾股數(shù)。第一個(gè)例子是20，它在以下兩組勾股數(shù)之中出現(xiàn)了：20、21、29與20、99、101。
在這里，我們發(fā)現(xiàn)了一些事實(shí)或規(guī)律：
1.勾股數(shù)不可能是三個(gè)奇數(shù)，因?yàn)閮蓚�(gè)奇數(shù)的平方和不可能是第三個(gè)奇數(shù)的完全平方。比如(2m+1)2+(2n+1)2=4m2+4n2+4m+4n+2是偶數(shù)，所以直角三角形較短兩邊(邊為整數(shù))一定是一奇一偶。
2.最短邊為奇數(shù)2p+1時(shí)，最短邊的平方等于另外兩條邊的和。
設(shè)最短邊為2p+1，則(2p+1)2=4p2+4p+1=2p(p+1)+[2p(p+1)+1];
即a2=b+c(a
3.勾股數(shù)a、b、c，若a為質(zhì)數(shù)，則2(a+b+1)與2c-1均為完全平方數(shù)。理由：勾股數(shù)a為質(zhì)數(shù)，a必為奇數(shù)，可令a=2p+1，則b=2p2+2p，c=2p2+2p+1;
∴2(a+b+1)=2(2p+1+2p2+2p+1)=4(p+1)2;
2c-1=2(2p2+2p+1)-1=4p2+4p+1=(2p+1)2。
4.注意第一組數(shù)“2mn，m2-n2，m2+n2”中若m和n互質(zhì)，而且m和n至少有一個(gè)是偶數(shù)，計(jì)算出來(lái)的a、b、c就是素勾股數(shù)(若m和n都是奇數(shù)，a、b、c就會(huì)全是偶數(shù)，不符合互質(zhì))。
通過(guò)這次的討論發(fā)現(xiàn)，日常的一些定理和公理，經(jīng)過(guò)對(duì)其深入鉆研，會(huì)發(fā)現(xiàn)里面蘊(yùn)涵的東西很豐富，對(duì)我們解題很有幫助。我們可以將類似的內(nèi)容作為學(xué)生的課題性學(xué)習(xí)，開(kāi)闊學(xué)生的思路，達(dá)到幫助教學(xué)的目的。
參考文獻(xiàn)
1.于鋒 趣談勾股數(shù)。
2.彭云龍 勾股數(shù)的聯(lián)想。
3.數(shù)學(xué)發(fā)展史概述。
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