數學的邏輯思維能力應從數列解題中培養

　　即將畢業的大學生，畢業論文是不可缺少的一項，但是畢業論文又是十分難寫的，讓很多同學撓破頭皮也難以下筆。在這里小編為大家展示一篇數學畢業論文，希望能夠幫到同學們!

　　摘 要:數學的邏輯思維能力是借助于數學概念進行判斷與推理來解決數學實際應用問題的能力。它是深入挖掘數學概念的內涵與拓展數學概念的外延的完整的思維過程。本文從數列解題的角度闡述了如何培養學生的邏輯思維能力。

　　關鍵詞：數學　邏輯思維　數列解題　能力培養

　　高中數學中數列教學是整個數學思維能力培養的一個不可缺少的重要環節。因為解決數列問題一般是通過數列的通項公式或者通過數列的遞推公式來解決，而數列的遞推公式具有數學關系的普遍性與特殊性完美結合的標識，它包含兩個部分，即遞推關系與初始條件，二者缺一不可。數列的遞推公式突出了轉化思想，要把一些特殊的數列問題轉化為等差數列與等比數列的解題思路來解題。下面就闡述一下怎樣運用遞推公式內含條件的轉化來解題的。

　　下列兩例就是從可歸納為等差與等比數列類型的遞推公式思路出發的解題思想：

　　例1、已知數列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2，q≠0)。

　　(Ⅰ)設bn=an+1-an(n∈N*)，證明{bn}是等比數列;(Ⅱ)求數列{an}的通項公式;(Ⅲ)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N*，an是an+3與an+6的等差中項。

　　(Ⅰ)證明：由題設an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2)，得an+1-an=q(an-an-1)，即bn=qbn-1，n≥2。又b1=a2-a1=1，q≠0，所以{bn}是首項為1，公比為q的等比數列。

　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得，a2-a1=1，a3-a2=q，……an-an-1=qn-2(n≥2)。將以上各式兩邊相加，得an-a1=1+q+…+qn-2(n≥2)。所以當n≥2時，

　　an=

　　(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得，當q=1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1。

　　由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8，由q≠1得

　　q3-1=1-q6　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　整理得(q3)2+q3-2=0，解得q3=-2或q3=1(舍去)。于是q=-　2。

　　由①可得an-an+3=an+6-an，n∈N*。

　　所以對任意的n∈N*，an是an+3與an+6的等差中項。

　　本題主要突出了等差數列、等比數列的概念、等比數列的通項公式及前n項和公式，考查了運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法。

　　例2、已知數列{an}的前n項和sn=2an-2n。

　　(Ⅰ)求a3、a4。

　　(Ⅱ)證明：數列{an+1-2an}是一個等比數列。

　　(Ⅲ)求{an}的通項公式。

　　(Ⅰ)因為sn=2an-2n，所以a1=2，S1=2。

　　由2an=Sn+2n，2an+1=sn+1+2n+1=an+1+sn+2n+1，

　　得an+1=sn+2n+1，

　　q2=s1+22=2+22=6，s2=8;

　　所以　a3=s2+23=8+23=16，s3=24;

　　a4=s3+24=40

　　(Ⅱ)由題設和上式知an+1-2an=(sn+2n+1)-(sn+2n)=2n+1-2n=2n

　　所以{an+1-2an}是首項為2，公比為2的等比數列。

　　(Ⅲ)an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+…+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1

　　=(n+1)·2n-1。

　　由此我們看出，它們前后兩項組合之差是一個等比數列，既含有等差數列的信息，又體現了等比數列的運算方法。

　　高中數學解題的主要思維方法是以轉化為主要目標的，它進一步揭示了數學概念的內涵，拓展了數學概念外延的數學思維過程。通俗地講就是把陌生的已知條件轉化為我們所熟悉的數學知識，在數列解題中首先想到的是等差數列與等比數列，根據不同的遞推公式，采用適當的變形過程，把它轉化為所熟悉的數學關系。這種從數列的解題中進一步培養學生的邏輯思維能力，就是我們今后教學思維的重要途徑。

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