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初等數(shù)論課程教學(xué)的改進(jìn)論文
初等數(shù)論課程教學(xué)的改進(jìn)論文【1】
摘 要：初等數(shù)論是大學(xué)本科數(shù)學(xué)的專業(yè)基礎(chǔ)課，但長期得不到足夠的重視。
究其原因，除其內(nèi)容相對簡單不受師生重視外，也有課程設(shè)置不科學(xué)和課堂教學(xué)方式方法陳舊等因素。
本文旨在改進(jìn)教學(xué)方法，闡述課堂教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)心得。
歸根結(jié)底，就是在備課和課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)上下工夫，取得理想的教學(xué)質(zhì)量。
關(guān)鍵詞：初等數(shù)論;教學(xué)方法;改進(jìn)
初等數(shù)論是數(shù)學(xué)專業(yè)本科階段代數(shù)系列課程中的一門，與高等代數(shù)和近世代數(shù)等已得到普遍重視的情況相比，初等數(shù)論課程的重要性尚未得到充分的認(rèn)識，主要體現(xiàn)在課程設(shè)置不科學(xué)、教學(xué)方法陳舊等方面，由此導(dǎo)致教學(xué)效果差，教學(xué)質(zhì)量無法提高等諸多問題。
那么，如何改進(jìn)初等數(shù)論課程的教學(xué)、改善教學(xué)效果，從而提高教學(xué)質(zhì)量?本文僅就教學(xué)實(shí)踐從兩個方面談?wù)勥@一問題。
一、在思想上給予初等數(shù)論以足夠的重視
初等數(shù)論是一門古老的學(xué)科，主要研究數(shù)的性質(zhì)和方程的整數(shù)解，是中等數(shù)學(xué)中數(shù)的理論的繼續(xù)和提高，是中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的最好銜接。
盡管其使用的方法是初等的，但應(yīng)該看到其很多內(nèi)容及思想為高等代數(shù)和近世代數(shù)做了很好的鋪墊，提供了抽象理論的具體實(shí)例。
初等數(shù)論為后續(xù)的代數(shù)提供了一個樣板，很多理論都要推廣到更一般的情形上去。
在整數(shù)集這個熟悉的領(lǐng)域中體會好代數(shù)的思想和方法，為將來學(xué)習(xí)和研究的提升做準(zhǔn)備。
更為重要的是目前RSA公鑰體制和離散對數(shù)體制均來自初等數(shù)論，并且正在不斷采用數(shù)論更為高深的理論成果[1]。
這反映出初等數(shù)論在實(shí)踐應(yīng)用上的價值。
既然初等數(shù)論課程如此重要，那么一些高校數(shù)學(xué)專業(yè)為什么會不重視這門課程?最根本的原因在于這門課程內(nèi)容表面上相對淺顯，教學(xué)單位沒有從科學(xué)的角度來審視初等數(shù)論在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的真實(shí)作用，低估了它存在的價值，他們認(rèn)為大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)講授更為抽象的問題，初等數(shù)論的存在比較尷尬，因此，在課程設(shè)置上不夠突出這門課程的地位。
不但沒有將之安排在大一的第一學(xué)期講授，而且有的將其由專業(yè)必修課改成大三講授的選修課。
這種錯誤的課程設(shè)置，抹殺了初等數(shù)論這門課銜接中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的橋梁作用。
此外，大三學(xué)生面對相對淺顯的數(shù)論課程，也確實(shí)提不起興趣，進(jìn)而影響到教師對這門課程的備課、授課的重視程度。
這種情況馮克勤先生曾經(jīng)撰文提到過，并且闡述了大一新生開設(shè)初等數(shù)論課程的理由和積極意義[2]。
遺憾的是十幾年過去了，仍沒有得到廣泛的重視。
現(xiàn)在，我們采納馮先生的建議尚不算晚，應(yīng)當(dāng)在具體的教學(xué)計(jì)劃上做出切實(shí)的調(diào)整，以便更好地發(fā)揮初等數(shù)論在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中的作用，進(jìn)而使之在應(yīng)用領(lǐng)域能為人熟練地應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)這門課程的價值。
教師在教學(xué)實(shí)踐上的重視程度和履行情況也至關(guān)重要。
教師不但要積極講授這門課程，而且還要下一番心思認(rèn)真準(zhǔn)備，設(shè)計(jì)好課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，怎樣開始，怎樣展開，結(jié)尾應(yīng)強(qiáng)調(diào)什么，知識點(diǎn)和相關(guān)學(xué)科知識的聯(lián)系等，這些環(huán)節(jié)都極為重要。
教師投入熱情，自然就會帶動學(xué)生的熱情，師生互動達(dá)成，取得良好的教學(xué)效果便水到渠成。
備課充分與否，教師和學(xué)生都能體會得到。
二、改進(jìn)傳統(tǒng)的教學(xué)方法
傳統(tǒng)的教學(xué)方法主要集中于教師課堂講授演算、隨時提問的方式。
這種方式立足于教材本身，緊緊圍繞教學(xué)大綱，中規(guī)中矩，對數(shù)學(xué)專業(yè)課程的講授而言有它的優(yōu)勢。
對初等數(shù)論來說，情況就不同了。
上文所言，不科學(xué)的課程設(shè)置，實(shí)際上是將初等數(shù)論這門課程置于比較尷尬的地位。
其內(nèi)容簡單，又在大三開設(shè)，甚至屬于選修課程。
帶來的結(jié)果是聽課的人少，學(xué)生和老師的情緒互相影響。
學(xué)生認(rèn)為沒什么可聽的，過于簡單;教師認(rèn)為學(xué)生一看都懂，講起來也沒什么意思，雙方的情緒都不高。
這便要求我們必須立足于這門課程在整個大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)際地位，采取相應(yīng)的更為靈活的教學(xué)方式來改變這種狀況。
我們通過具體的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)了以下一些方法。
(一)增加與基本定義及定理相關(guān)內(nèi)容的介紹
在課堂教學(xué)中，對基本定義及定理的背景、來源、研究動機(jī)、目的與其應(yīng)用的講解是必要的。
要讓學(xué)生明白為什么要講這些內(nèi)容，它們?nèi)绾蔚脕恚泻螒?yīng)用。
如講質(zhì)數(shù)問題，就要提及整數(shù)。
整數(shù)是最先接觸的數(shù)集，都以為整數(shù)是最基本的數(shù)，但中國古代數(shù)學(xué)家把質(zhì)數(shù)叫做“數(shù)根”，意思是數(shù)的根本。
因?yàn)槿魏握麛?shù)或者是質(zhì)數(shù)，或者是幾個質(zhì)數(shù)的積。
古希臘時代的偉大數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中就已經(jīng)給出質(zhì)數(shù)的若干性質(zhì)。
歐幾里得給出算術(shù)基本定理在普通整數(shù)中的證明，后來高斯在復(fù)整數(shù)集{a+bi|a，b均為整數(shù)}中得出證明。
高斯曾經(jīng)在《算術(shù)探究》提過：“區(qū)分質(zhì)數(shù)和合數(shù)，并且將合數(shù)分解成質(zhì)因子，是算術(shù)中最重要又最有意義的問題。”高斯明確指出了質(zhì)數(shù)的重要性。
今天，質(zhì)數(shù)理論不僅在理論上，而且在應(yīng)用上日益重要。
基于大數(shù)分解方案的公開密鑰體制在信息安全領(lǐng)域的應(yīng)用就是一個最好的證明。
把以上的相關(guān)內(nèi)容向?qū)W生做一個簡略的介紹，一方面，豐富了質(zhì)數(shù)問題的知識含量，另一方面強(qiáng)調(diào)了質(zhì)數(shù)問題的重要性。
不但從數(shù)學(xué)史的角度深化了學(xué)生對質(zhì)數(shù)的理解，而且調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
數(shù)學(xué)史方面的適度滲透，我們在教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常會用到，效果良好。
(二)盤點(diǎn)每堂課的主要內(nèi)容，要求學(xué)生多練習(xí)
課堂上可能學(xué)了很多東西，學(xué)生能消化吸收多少?一個學(xué)期下來學(xué)生又記住了什么?我們自己要經(jīng)常問自己，更要經(jīng)常問學(xué)生。
換言之，即要求學(xué)生每堂課過后要關(guān)注教師的總結(jié)，也要自己去總結(jié)。
課堂上會有一些具體細(xì)致的計(jì)算與證明，這對領(lǐng)會這門學(xué)科的基本方法是必要的，但不能過于執(zhí)著細(xì)的方面，以至于只記得怎樣做，而忘了要做什么和為什么要做。
要注重講系統(tǒng)的方法，并展示這些方法可以解決什么問題，同時說明為解決另一些數(shù)學(xué)問題還需要進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)。
可以在每次課的結(jié)尾盤點(diǎn)當(dāng)天的主要內(nèi)容以加深印象。
但一定要要求學(xué)生課下動手做，要多練習(xí)，使其具備一定的基本功。
學(xué)期末，教師要向?qū)W生盤點(diǎn)這門課程的重點(diǎn)內(nèi)容。
初等數(shù)論都能讓我們想到什么，哪些是這門課程的精髓。
初等數(shù)論的重點(diǎn)是算數(shù)基本定理、中國剩余定理、模n的剩余類、歐拉定理(費(fèi)馬定理)、高斯二次互反律等。
(三)營造良好的課堂氛圍
相對而言，初等數(shù)論這門課內(nèi)容簡單，易于達(dá)成師生間的良性溝通，營造出活躍的課堂氛圍。
但不同授課內(nèi)容，學(xué)生的反應(yīng)會有所不同。
有時學(xué)生會對某個問題較為敏感，思維也比較活躍，能夠積極思維并參與討論，帶動其他同學(xué)，帶動整個課堂氣氛，這樣的教學(xué)效果肯定是好的。
有時學(xué)生會對接受的內(nèi)容產(chǎn)生諸多疑問，因此，表面上課堂并不活躍，大家都在默默地、積極地思考，沉浸在一種數(shù)學(xué)的氛圍之中。
這種課堂氛圍同樣能達(dá)到理想的授課效果。
(四)調(diào)動學(xué)生參與到應(yīng)用數(shù)論解決簡單的實(shí)踐活動中去
初等數(shù)論課是一門可以充分展示學(xué)生個性的課。
作業(yè)中會發(fā)現(xiàn)對同一個題目，他們可能有很多種做法，應(yīng)該對他們給予鼓勵，使他們有成就感，進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
另外，數(shù)論課還可以讓學(xué)生編一些解決問題的算法。
比如，編程解決素數(shù)判定(當(dāng)然是適當(dāng)大的數(shù)以內(nèi)的)、最大公因數(shù)的求解、一次同余式的求解。
在全班同學(xué)范圍內(nèi)編一個密鑰表來模仿公開密鑰體制給學(xué)生發(fā)加密信息等。
可以讓學(xué)生互相比較誰的算法好、速度快，這些既鍛煉了學(xué)生的編程能力，又提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。
除了上述四個方面外，我們還針對教學(xué)中的具體情況采取一些方法。
如針對不同層次學(xué)生的需求，如何做到因材施教的問題。
這是涉及既能保證普遍的教學(xué)質(zhì)量，又能注重優(yōu)秀學(xué)生培養(yǎng)的一個老問題[3]。
有的學(xué)生天賦好、基礎(chǔ)好，常常會有與眾不同的想法、問題，要積極引導(dǎo)他們，鼓勵他們多讀書，讀好書。
鼓勵他們就感興趣的問題查閱文獻(xiàn)資料，這可能同時涉及其他課程、其他學(xué)科，也能拓展他們的知識面，讓他們感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)。
在初等數(shù)論課堂教學(xué)改進(jìn)的過程中，我們發(fā)現(xiàn)利用這門課程的教學(xué)適時地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的某些思想是有效果的。
通過這門課程的教與學(xué)，很多學(xué)生都明白了數(shù)學(xué)教學(xué)的過程是教師引導(dǎo)他們學(xué)習(xí)前人得到的概念、定理及方法的過程。
這些理論的敘述都是倒敘式的，與前人得到的順序是相反的。
師生雖然不能完全模擬當(dāng)年數(shù)學(xué)家的思維過程，也應(yīng)盡量一起分析這個問題的產(chǎn)生、可能的解決思路，最終方法的確定，一同回味和享受這個過程。
這一過程對他們更好地理解理論、體會思想、學(xué)習(xí)方法、培養(yǎng)興趣都是非常重要的。
另外，這樣做有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的研究能力[4]。
記得有一位老師說過，基礎(chǔ)課教學(xué)的探討永無止境。
我們只能探索、改進(jìn)、再探索、再改進(jìn)。
參考文獻(xiàn)：
[1]馮克勤.高校代數(shù)教學(xué)的一些實(shí)踐與思考[C]//大學(xué)數(shù)學(xué)課程報告論壇論文集.北京：高等教育出版社，2005：49-52.
[2]馮克勤.高校代數(shù)課教學(xué)的一些作法和看法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，(5).
[3]曹重光.高等代數(shù)課程建設(shè)與改革[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2008，(29).
[4]曹重光，張顯，唐孝敏，生玉秋.高等代數(shù)課程建設(shè)與改革[J].黑龍江教育：高教研究與評估，2005，(7).
初等數(shù)論的教學(xué)實(shí)踐與思考【2】
近年來，初等數(shù)論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、代數(shù)編碼、計(jì)算方法等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，同時近代數(shù)學(xué)中許多重要的思想、概念、方法與技巧都是從對整數(shù)性質(zhì)的深入研究中不斷豐富和發(fā)展起來的。
因此，學(xué)習(xí)這門課程對學(xué)生來說非常重要，與其它數(shù)學(xué)專業(yè)課程比較來看，初等數(shù)論似乎很簡單，但根據(jù)其涉及的題目卻形式多樣，解題時需要一定的技巧，所以真正教好、學(xué)好它并不容易。
如何調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，在教學(xué)過程中如何啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，提高初等數(shù)論的教學(xué)效果，對學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和畢業(yè)以后的教學(xué)研究和實(shí)踐有重要的意義。
一、挖掘教材中的隱性知識，拓寬學(xué)生知識面
教材中的知識可以分成兩類：一類是表述相對明顯，能被學(xué)生直接解讀、理解的知識;另一類是沒有直接表述出來的知識，需要經(jīng)過教師的點(diǎn)撥、講解才能彰顯出來，才能被學(xué)生理解，即我們通稱的隱性知識。
在注重知識應(yīng)用能力培養(yǎng)的今天，教師很有必要在教學(xué)實(shí)踐中對教材中的隱性知識進(jìn)行充分的挖掘。
《初等數(shù)論》的內(nèi)容簡明、語言精練，由此造成了不少的隱性知識。
如在書本31頁有這樣一道習(xí)題：證明：二元一次不定方程ax+by=N，(a，b)=1，a>1，b>1，當(dāng)N>ab-a-b時，有非負(fù)整數(shù)解。
N=ab-a-b時則不然。
如果教師在教學(xué)中稍加引導(dǎo)，則不難得到如下兩個結(jié)論：①不能表示成形如ax+by{(a，b)=1，a>1，b>1}的最大正整數(shù)為N=ab-a-b;②使ax+by=N無非負(fù)整數(shù)解的最大正整數(shù)N=ab-a-b。
教材中這樣的隱性知識很多，教師如能充分挖掘，便可拓寬學(xué)生的知識面，而且能增加學(xué)生對初等數(shù)論的學(xué)習(xí)興趣。
二、注重知識點(diǎn)間的聯(lián)系，橫向輻射
任何知識點(diǎn)都不是孤立存在的，都與周圍其他知識點(diǎn)處于相互聯(lián)系中。
同時，構(gòu)成某個知識點(diǎn)的各個要點(diǎn)也不是散亂的一團(tuán)，而是相互依存、有機(jī)聯(lián)系在一起的。
老師在教學(xué)時一定要注意到知識點(diǎn)與知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，以點(diǎn)帶動面，以面帶動板塊，以板塊進(jìn)行輻射，萬不可把知識點(diǎn)進(jìn)行人為的孤立，無論對于學(xué)生的思維連貫性與廣度，都是非常不利的。
例如，《初等數(shù)論》第三章的第四節(jié)的后面部分介紹了一個既約分?jǐn)?shù){0但是，書本告訴我們的知識遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。
對于循環(huán)小數(shù)，小學(xué)數(shù)學(xué)中就有介紹，站在初等數(shù)論中的理論高度來說，小學(xué)的內(nèi)容是缺乏一定的嚴(yán)謹(jǐn)性的，當(dāng)然也有一定的局限性。
談到既約分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，我們自然會思考下面的兩個問題：任意給定一個分?jǐn)?shù)，它可以化成怎樣的小數(shù)?任意給定一個小數(shù)，它是否一定可以化成分?jǐn)?shù)?第一個問題涉及到小數(shù)的分類，第二個問題涉及到能夠表示成分?jǐn)?shù)的小數(shù)的特征。
不難回答，我們可以把小數(shù)分成有限小數(shù)與無限小數(shù)，無限小數(shù)又可以分為循環(huán)小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是不能表示成分?jǐn)?shù)的，也就是我們所說的無理數(shù)。
在講授這部分內(nèi)容時，我們可以嘗試補(bǔ)充一下內(nèi)容，相信這樣的教學(xué)會比之前更精彩，內(nèi)容也更豐富，也更具吸引力。
三、把握知識的整體結(jié)構(gòu)，縱向延伸
同一主題的知識點(diǎn)由于課程安排的需要，被放在不同的章節(jié)中。
隨著學(xué)習(xí)的深入，有關(guān)這一主題的內(nèi)容不斷出現(xiàn)，雖然內(nèi)容有所不同，但其前后相繼的聯(lián)系非常密切。
如果細(xì)心分析，就會發(fā)現(xiàn)它們是貫穿教材前后的一條線索。
教師在教學(xué)中如果能夠把相關(guān)內(nèi)容串聯(lián)起來，給學(xué)生一個清晰的脈絡(luò)，同時鼓勵學(xué)生主動去尋找各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，那么這將有助于學(xué)生從更高層次上把握教材的體系，構(gòu)建相應(yīng)的知識網(wǎng)絡(luò)，使各知識點(diǎn)系統(tǒng)化、專題化。
同余是數(shù)論中的重要概念，同余理論是研究整數(shù)問題的重要工作之一。
同余式性質(zhì)應(yīng)用非常廣泛，在處理某些整除性、進(jìn)位制、對整數(shù)分類、解不定方程等方面的問題中有著不可替代的功能，與之密切相關(guān)的的數(shù)論定理有歐拉定理、費(fèi)馬定理和中國剩余定理。
例如，在第四章§1基本概念及一次同余式中，教材給我們介紹了求解一次同余式的一般方法：將求解ax=b(modm)轉(zhuǎn)化為：求解二元一次不定方程ax-mt=b。
在求解不定方程時，我們需要用到輾轉(zhuǎn)相除法，但是在不定方程的測驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生用輾轉(zhuǎn)相除法時很容易用過頭：往往“不小心”計(jì)算到了余數(shù)為0的最后一個商，這樣算出來的結(jié)果自然就不對了。
所以在教學(xué)過程中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系各知識點(diǎn)，積極尋找求解一次同余式更為簡單、易于操作的方法。
四、聯(lián)系生活，注重知識應(yīng)用
數(shù)學(xué)是一種工具，是一種將自然、社會運(yùn)動現(xiàn)象法則化、簡約化的工具。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最重要成果就是學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型，用以解決實(shí)際問題。
數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)就是教人掌握這一工具并學(xué)會利用這一工具，對于初等數(shù)論教學(xué)當(dāng)然也不例外。
通過了解初等數(shù)論知識在實(shí)際中的廣泛運(yùn)用，可以培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，自然學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性提高，教學(xué)也能收到良好的效果。
例如，將一根30米長的鋼材，截割成規(guī)格分別為2米，3米和8米的較短的料，每種規(guī)格的料至少有1根，問怎樣截才能使原來的鋼材恰好用完?
解：設(shè)2米，3米，8米的料分別截x，y，z根，根據(jù)題意有：2x+3y+8z=30因?yàn)槊糠N規(guī)格的料至少1根，所以應(yīng)求方程的正整數(shù)解。
與解二元一次不定方程一樣，求三元一次不定方程的正整數(shù)解，可以先求它的通解，通過解一個二元一次不等式組，得到通解中兩個參數(shù)的取值范圍，從而找出原不定方程相應(yīng)的正整數(shù)解，但解二元一次不等式組比較麻煩，這里運(yùn)用逐次嘗試法，先確定其中一個未知數(shù)的取值范圍，然后對所取正整數(shù)值逐一試驗(yàn)求解。
在教學(xué)過程中，應(yīng)充分利用教材和習(xí)題，從教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)、教學(xué)對象的特點(diǎn)、教學(xué)資源等方面不斷探索、研究和改善，才能加強(qiáng)對學(xué)生獲取知識、發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，才能提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，才能建立一個良好的初等數(shù)論教學(xué)新模式。
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