數(shù)列求和的基本方法和技巧

時間：2023-06-26 19:41:30 松濤學(xué)習(xí)技巧我要投稿

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數(shù)列求和的基本方法和技巧

　　在我們的學(xué)習(xí)時代，很多人都經(jīng)常追著老師們要知識點吧，知識點也可以通俗的理解為重要的內(nèi)容。掌握知識點是我們提高成績的關(guān)鍵！以下是小編整理的數(shù)列求和的基本方法和技巧，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　一、公式法

　　如果一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式。注意等比數(shù)列公示q的取值要分q=1和q≠1。

　　二、倒序相加法

　　如果一個數(shù)列的首末兩端等“距離”的兩項的和相等，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的。

　　三、錯位相減法

　　如果一個數(shù)列的各項和是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的。

　　四、裂項相消法

　　把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和。用裂項相消法求和時應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也可能前面剩兩項，后面也剩兩項，前后剩余項是對稱出現(xiàn)的。

　　五、分組求和法

　　若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和然后相加減。

　　六、并項求和法

　　一個數(shù)列的前n項和中，若可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和法。形如類型，可采用兩項合并求解。

　　七、數(shù)列知識整合

　　1、在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運用數(shù)列知識和方法解決數(shù)學(xué)和實際生活中的有關(guān)問題。

　　2、在解決綜合題和探索性問題實踐中加深對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，溝通各類知識的聯(lián)系，形成更完整的知識網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力。進一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力。

　　3、培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動探索的精神和科學(xué)理性的思維方法。

　　拓展：求數(shù)列極限的方法總結(jié)

　　極限無外乎出這三個題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù)。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵，極限的運算法則必須遵從，兩個極限都存在才可以進行極限的運算，如果有一個不存在就無法進行運算。以下我們就極限的內(nèi)容簡單總結(jié)下。

　　極限的計算常用方法：四則運算、洛必達(dá)法則、等價無窮小代換、兩個重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調(diào)有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法。

　　四則運算、洛必達(dá)法則、等價無窮小代換、兩個重要極限是常用方法，在基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)中是重點，考生應(yīng)該已經(jīng)非常熟悉，進入強化復(fù)習(xí)階段這些內(nèi)容還應(yīng)繼續(xù)練習(xí)達(dá)到熟練的程度;在強化復(fù)習(xí)階段考生會遇到一些較為復(fù)雜的極限計算，此時運用泰勒公式代替洛必達(dá)法則來求極限會簡化計算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達(dá)到事半功倍之效; 夾逼定理、利用定積分定義常常用來計算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進行計算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進行計算;單調(diào)有界收斂定理可用來證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限。

　　與極限計算相關(guān)知識點包括：1、連續(xù)、間斷點以及間斷點的分類：判斷間斷點類型的基礎(chǔ)是求函數(shù)在間斷點處的左右極限；2、可導(dǎo)和可微，分段函數(shù)在分段點處的導(dǎo)數(shù)或可導(dǎo)性，一律通過導(dǎo)數(shù)定義直接計算或檢驗存在的定義是極限存在；3、漸近線，（垂直、水平或斜漸近線）；4、多元函數(shù)積分學(xué)，二重極限的討論計算難度較大，常考查證明極限不存在。

　　下面我們重點講一下數(shù)列極限的典型方法。

　　重要題型及點撥

　　1、求數(shù)列極限

　　求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式。

　　★抽象數(shù)列求極限

　　這類題一般以選擇題的形式出現(xiàn)，因此可以通過舉反例來排除。此外，也可以按照定義、基本性質(zhì)及運算法則直接驗證。

　　★求具體數(shù)列的極限，可以參考以下幾種方法：

　　a、利用單調(diào)有界必收斂準(zhǔn)則求數(shù)列極限。

　　首先，用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性，進而確定極限存在性；其次，通過遞推關(guān)系中取極限，解方程，從而得到數(shù)列的極限值。

　　b、利用函數(shù)極限求數(shù)列極限

　　如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例，形如，則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限，此時再用洛必達(dá)法則求解。

　　★求項和或項積數(shù)列的極限，主要有以下幾種方法：