微分方程的近似解法

　　微分方程的近似解法【1】

　　【摘要】微分方程的近似解具有很大的理論意義，而微分方程的解和解的唯一性又是進行近似計算的前提，也是求微分方程近似解的理論基礎。對于有初始條件的微分方程可以選用，歐拉方法和逐次逼近的方法來求得微方程近似解。

　　【關鍵詞】微分方程的近似解;歐拉折線法;逐次逼近法;唯一性定理

　　微分方程理論中最基本的內容是微分方程解存在唯一性定理，它具有重大的理論意義。但是，由于能求出精確的微分方程為數不多，那么，微分方程近似解法就顯得十分重要，而解的存在和唯一又是進行近似計算的前提。

　　如果微分方程的解存在，而不唯一，由于不知道要確定哪一個解卻要近似地去確定它，問題也是不明確的，這樣一來，微分方程解的存在和唯一，也就是近似求解的前提和理論基礎。下面我就只有已知初始值的問題，對這個問題說明歐拉方法和逐次逼近法的思想，來近似求解微分方程。

　　歐拉折線法

　　設在平面上點(x，y)上某個區域D中給定微分方程：

　　(1)

　　且該方程在區域D上定義了一個方向，(1)在D上任取一點(x0，y0)，經過這個點作直線L0。(2)在直線L0上任取一點(x1，y1)且使(x1，y1)相當接近于(x0，y0)，經過點(x1，y1)作直線L1。(3)在L1上任取一點(x2，y2)，且使(x2，y2)相當接近(x1，y1)，再作直線L2………….

　　設x0

　　我們希望通過(x0，y0)點的每一條歐拉折線，當每一段都很短時，可以作為通過點(x0，y0)的積分曲線L的某種表示，當最長的線段都趨于零時，即每段也都趨于零時，歐拉折線就接近于積分曲線。

　　當然在這里我們首先必須假定積分曲線存在是唯一的。事實上只要函數f(x，y)在區域D內連續，就可以得出無限序列的歐拉折線，其最長的直線趨近于零。則這個序列就收斂于某個積分曲線L.

　　但在此時僅是存在，一般說來還不是唯一的。可能存在不同序列的歐拉折線，它們收斂于不同的積分曲線，且均通過同一個點(x0，y0)。

　　例如：僅含有一個未知數的一階微分方程.

　　(2)

　　為使得在區域D中任何點的斜率為f(x，y)，必須除掉平行于oy軸的方向，我們研究的曲線只是x的函數圖形。因此，如果某一曲線它與垂直于于X軸的另一直線有多于一點的交點，這個函數就不是單值對應，此時，我們把(2)的求解問題加以推廣，而考慮：

　　還有基于其它思想，找尋微分方程解的近似方法，比如克雷洛夫方法也是可行的方法之一。

　　微分方程的數值解法【2】

　　摘要：本文結合數例詳細闡述了最基本的解決常微分方程初值問題的數值法，即Euler方法、改進Euler法，并進行了對比，總結了它們各自的優點和缺點，為我們深入探究微分方程的其他解法打下了堅實的基礎。

　　關鍵詞:常微分方程 數值解法 Euler方法 改進Euler法

　　1、Euler方法

　　由微分方程的相關概念可知，初值問題的解就是一條過點 的積分曲線 ，并且在該曲線上任一點 處的切線斜率等于函數 的值。

　　根據數值解法的基本思想，我們取等距節點 ，其中h為步長，在點 處，以 為斜率作直線 交直線 于點 。如果步長 比較小，那么所作直線 與曲線 的偏差不會太大，所以可用 的近似值，即： ，再從點 出發，以 為斜率作直線 ，作為 的近似值，即：

　　重復上述步驟，就能逐步求出準確解 在各節點 處的近似值。一般地，若 為 的近似值，則過點 以 為斜率的直線為：

　　從而 的近似值為：

　　此公式就是Euler公式。因為Euler方法的思想是用折線近似代替曲線，所以Euler方法又稱Euler折線法。Euler方法是初值問題數值解中最簡單的一種方法，由于它的精度不高，當步數增多時，由于誤差的積累，用Euler方法作出的折線可能會越來越偏離曲線 。舉例說明：

　　解： ,

　　精確解為：

　　1.2 -0.96 -1 0.04

　　1.4 -0.84 -0.933 0.933

　　1.6 -0.64 -0.8 0.16

　　1.8 -0.36 -0.6 0.24

　　2.0 0 -0.333 0.33

　　2.2 0.44 0 0.44

　　通過上表可以比較明顯地看出誤差隨著計算在積累。

　　2、改進Euler法

　　方法構造

　　在常微分方程初值問題 ,對其從 到 進行定積分得:

　　用梯形公式將右端的定積分進行近似計算得：

　　用 和 來分別代替 和 得計算格式:

　　這就是改進的Euler法。

　　解：

　　解得：

　　由于 ,是線形函數可以從隱式格式中解出

　　問題的精確解是

　　誤差

　　0.2 2.421403 2.422222 0.000813 0.02140

　　0.4 2.891825 2.893827 0.00200 0.05183

　　0.6 3.422119 3.425789 0.00367 0.09411

　　2.0 10.38906 10.43878 0.04872 1.1973

　　通過比較上表的第四列與第五列就能非常明顯看出改進Euler方法精度比Euler方法精度高。

　　3、結語

　　Euler方法是一種最簡單的解決常微分方程初值問題的方法，相應的它的精度最低，在計算中如果步長h較大的話，誤差將會比較大，所以使用時應注意控制步長h，并且隨著步長的增多誤差的不斷積累，最后所得的結果誤差也會較大，只有在控制步長、精度要求不高的情況下使用，主要適用于對 的估值上;雖然改進Euler法在取相同步長h時它的計算量是Euler方法的二倍，但它的精度比較高，能夠滿足一般要求，平時使用較多。

　　參考文獻

　　[1]朱思銘,王壽松,李艷會.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

　　[2]余德浩,湯華中.《微分方程數值解法》.科學出版社,北京:2002.

　　[3]李慶樣等編.《數值分析》.高等教育出版社,2000.

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