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巧解積分的幾種方法
巧解積分的幾種方法【1】
【摘要】 有些積分用傳統的積分方法計算比較繁瑣，該文總結了常用的巧解積分的幾種方法和技巧.這些方法和技巧既可以減少計算量，提高計算效率，同時又可以開拓解題思路，提高學生的積分計算能力.
【關鍵詞】 對稱性;巧解;計算技巧.
積分學是高等數學的重要組成部分，在理論研究和實際應用中，許多問題都可以歸結為積分的計算問題，而且重積分、曲線、曲面積分最終都轉化為定積分的計算.計算定積分的一種行而有效的工具是微積分基本公式，即牛頓―萊布尼茨公式.但一個顯見的事實是：若被積函數的原函數不能用初等函數表示，則牛頓―萊布尼茨公式就失去了效力;另一方面當被積函數本身形式復雜，傳統的積分方法也相形見絀，發揮不了作用.為了減少計算量和提高計算效率，我們總結了如下幾種常見的巧解積分的方法和技巧.
一般情況下，積分并不是這種形式，需要通過換元或對稱性對積分進行變換或變形.
5.巧用對偶性
有些積分單獨考慮時比較難以積出結果，倘若構造出另一個積分作為對偶，兩個積分同時考慮則可利用兩積分相互之間的良好關聯性質，即可簡單地求出原積分，這種利用對偶求解積分的方法稱為對偶(“伴侶”)法.
總之，由于積分的形式具有多樣性，導致積分的計算有很強的靈活性.對具體函數的積分，我們不能只停留在一般的方法上，要積極嘗試新的方法，具體問題具體分析，才能尋求到最佳解法提高積分的解題技能.
【參考文獻】
[1] 陳兆斗，鄭連存，王輝，等.大學生數學競賽習題精講[M] .北京：清華大學出版社，2010.
[2] 曹斌，孫艷.對稱性在積分計算中的應用[J] .吉林師范大學學報(自然科學版)，2012，33(3)：125-128.
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[5] 同濟大學數學系.高等數學(第六版)[M] .北京：高等教育出版社，2013.
巧解排列組合題的幾種方法【2】
〔關鍵詞〕 數學教學;排列組合題;解答;方法
排列、組合題是高中數學中相對獨立的部分內容，它與其他知識聯系較少，內容比較抽象。不少學生在學習排列、組合問題時，感到束手無策，并時常出現錯誤。那么，怎樣才能快速解答排列組合題呢?首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題;其次要抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析，同時還要講究一些策略和方法方面的技巧。
一、相鄰問題合一法
對于相鄰問題，先將相鄰元素“合并在一起”，當作一個元素進行全排列，然后再把個別相鄰元素進行交換排列。
例1 6名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有( )
A.720種 B.360種 C.240種 D.120種
分析：因為甲、乙必須排在一起，姑且把他們“合并”在一起，當作一個人對待。這樣就相當于只有5名同學進行全排列，共有A =120種排法，但甲、乙相鄰有兩種排法，因而共有2A =2×120=240種排法。
二、不相鄰問題定位法
對于不相鄰問題，可先將不相鄰元素進行“定位”排列，然后再對其他元素進行全排列。
例2 6個人站成一排，甲、乙之間必須間隔兩人的不同站法有( )
A.144種 B.72種 C.48種 D.24種
分析：因為甲、乙不相鄰，并且他倆之間必須間隔兩人。先將甲(乙)安排(或不排)在某位置，后排其他人，按照甲(乙)所站的位置可分3類。
1.甲(乙)站在左起第一位時，乙(甲)必須站在第4位，共有2A =48種。
2.甲(乙)站在左起第二位時，乙(甲)必須站在第5位，共有2A=48種。
3.甲(乙)站在左起第三位時，乙(甲)必須站在第6位，共有2 A=48種。
所以，根據加法原理得，合乎題意的不同排法種數為48+48+48=144種。
三、特殊元素(位置)先排法
對于帶有特殊元素(位置)的排列、組合問題，先滿足特殊元素或特殊位置，即先考慮特殊元素(位置)，后考慮其他一般元素(位置)。
例3 學校上午共四節課，某班上午要排語文、數學、物理、體育四門課程，要求體育課不能排在第一節和第四節，共有多少種不同排課方案?
分析：本題有兩種方法，可以優先安排特殊元素，也可以優先安排特殊位置。下面就優先安排特殊元素的方法進行講解。
由于體育課不能排在第一節，也不能排在第四節課，故體育課就是“特殊元素”，應優先安排。按體育課排在第二節和第三節課分兩類。
1.體育課排在第二節，其余課程做全排列有 A=6種排法排課方案。
2.體育課排在第三節，其余課程做全排列有A=6種排法。
由分類計數原理，共A+A=2A=12種排課方案。
四、先選后排法
從幾個元素中選出符合條件的幾個元素，然后進行排列組合。
例4 由5男4女中選出3男2女組成體育代表隊，但正、副隊長必得由男隊員擔任，問共有( )種選法?
A.126種 B.180種 C.360種 D.720種
分析：5名男運動員中選出3名，有C=10種選法。4名女運動員選出2名，有C=6種選法。按乘法原理，共有C·C=10×6=60種選法。但選出的3名男生哪兩名擔任正、副隊長，這是一個排列問題。于是選正、副隊長共有A=6種選法。
把以上隊員的選取和正、副隊長的選舉結合起來，由分步計數原理便知共有C·C·A=10×6×6=360種選法。
五、不相鄰問題插空法
對于幾個元素不相鄰的排列問題，可先將無特殊要求的元素進行全排，再將規定不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端空隙處插入。
例5 3個男生和4個女生站成一排，男生不能相鄰，有多少種不同的排法?
分析：先將4名女生進行排列，共有A=24種排法，再在這四名女生之間及兩端的5個“空檔”處選三個位置讓3名男生插入，則有A=60種排法，所以共有A·A=24×60=1440種排法。
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