微分方程應用舉例

時間：2022-10-05 22:53:52 數學畢業論文我要投稿

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微分方程應用舉例

　　微分方程應用舉例【1】

　　摘要：通過舉例給出了微分方程在實際中的應用，從而使學生易于理解和掌握微分方程概念及理論。

　　關鍵詞：微分方程應用

　　微分方程指的是，聯系著自變量，未知函數及它的導數的關系式子。

　　微分方程是高等數學的重要內容之一，是一門與實際聯系較密切的一個內容。

　　在自然科學和技術科學領域中，例如化學，生物學，自動控制，電子技術等等，都提出了大量的微分方程問題。

　　在實際教學過程中應注重實際應用例子或應用背景，使學生對所學微分方程內容有具體地，形象地認識，從而激發他們強大的學習興趣。

　　1 應用問題舉例

　　1.1 生態系統中的弱肉強食問題

　　在這里考慮兩個種群的系統，一種以另一種為食，比如鯊魚(捕食者)與食用魚(被捕食者)，這種系統稱為“被食者—捕食者”系統。

　　Volterra提出：記食用魚數量為，鯊魚數量為，因為大海的資源很豐富，可以認為如果，則將以自然生長率增長，即。

　　但是鯊魚以食用魚為食，致使食用魚的增長率降低，設降低程度與鯊魚數量成正比，于是相對增長率為。

　　常數，反映了鯊魚掠取食用魚的能力。

　　如果沒有食用魚，鯊魚無法生存，設鯊魚的自然死亡率為，則。

　　食用魚為鯊魚提供了食物，致使鯊魚死亡率降低，即食用魚為鯊魚提供了增長的條件。

　　設增長率與食用魚的數量成正比，于是鯊魚的相對增長率為。

　　常數>0，反映了食用魚對鯊魚的供養能力。

　　所以最終建立的模型為：

　　這就是一個非線性的微分方程。

　　1.2 雪球融化問題

　　有一個雪球，假設它是一個半徑為r的球體，融化時體積V的變化率與雪球的表面積成正比，比例常數為>0，則可建立如下模型：

　　1.3 冷卻(加熱)問題

　　牛頓冷卻定律具體表述是，物體的溫度隨時間的變化率跟環境的的溫差成正比。

　　記T 為物體的溫度，為周圍環境的溫度，則物體溫度隨時

　　2 結語

　　文中通過舉生態系統中弱肉強食問題，雪球融化及物理學中冷卻定律問題為例給出了微分方程在實際中的應用。

　　在講解高等數學微分方程這一章內容時經常舉些應用例子，能引起學生對微分方程的學習興趣，能使學生易于理解和掌握其基本概念及理論，達到事半功倍之效。

　　參考文獻

　　[1] 王嘉謀，石林.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2012.

　　[2] 王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].2版.北京：科學出版社，2000.

　　[3] 齊歡.數學建模方法[M].武漢：華中理工大學出版社，1996.

　　微分方程在數學建模中的應用【2】

　　【摘要】微分方程是現代數學的一個重要分支，是研究函數變化規律的有力工具，它在科技、教育、經濟管理、生態、環境、人口、交通等各個領域中有著廣泛的應用。

　　在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數關系較為困難，但導出包含未知函數的導數或微分的關系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。

　　本文主要從交通紅綠燈模型和市場價格模型來論述微分方程在數學建模中的應用。

　　【關鍵詞】微分方程;數學建模;交通紅綠燈模型;市場價格調整模型

　　數學建模是數學方法解決各種實際問題的橋梁，隨著計算機技術的快速發展，數學的應用日益廣泛，數學建模的作用越來越重要，而且已經應用到各個領域。

　　用微分方程解決實際問題的關鍵是建立實際問題的數學模型——微分方程。

　　這首先要根據實際問題所提供的條件，選擇確定模型的變量，再根據有關學科，如物理、化學、生物、經濟等學科理論，找到這些變量遵循的規律，用微分方程的形式將其表示出來。

　　一、交通紅綠燈模型

　　在十字路口的交通管理中，亮紅燈之前，要亮一段時間的黃燈，這是為了讓那些正行駛在十字路口的人注意，告訴他們紅燈即將亮起，假如你能夠停住，應當馬上剎車，以免沖紅燈違反交通規則。

　　這里我們不妨想一下：黃燈應當亮多久才比較合適?

　　停車線的確定，要確定停車線位置應當考慮到兩點：一是駕駛員看到黃燈并決定停車需要一段反應時間，在這段時間里，駕駛員尚未剎車。

　　二是駕駛員剎車后，車還需要繼續行駛一段距離，我們把這段距離稱為剎車距離。

　　駕駛員的反應時間(實際為平均反應時間) 較易得到，可以根據經驗或者統計數據求出，交通部門對駕駛員也有一個統一的要求(在考駕照時都必須經過測試)。

　　例如，不失一般性，我們可以假設它為1秒，(反應時間的長短并不影響到計算方法)。

　　停車時，駕駛員踩動剎車踏板產生一種摩擦力，該摩擦力使汽車減速并最終停下。

　　設汽車質量為m，剎車摩擦系數為f，x(t)為剎車后在t時刻內行駛的距離，更久剎車規律，可假設剎車制動力為fmg(g為重力加速度)。

　　由牛頓第二定律，剎車過程中車輛應滿足下列運動方程：

　　md2xdt2=-fmg

　　x(0)=0， dxdtt=0=v0

　　(1)

　　在方程(1)兩邊同除以并積分一次，并注意到當t=0時dxdt=V0，得到

　　dxdt=-fgt+v0

　　(2)

　　剎車時間t2可這樣求得，當t=t2時，dxdt=0，故

　　t2=v0fg

　　將(2)再積分一次，得

　　x(t)=-12fgt2+v0t

　　將t2=v0fg代入，即可求得停車距離為

　　x(t2)=1v202fg

　　據此可知，停車線到路口的距離應為：

　　L=v0t1+12v20fg

　　等式右邊的第一項為反應時間里駛過的路程，第二項為剎車距離。

　　黃燈時間的計算，現在我們可以來確定黃燈究竟應當亮多久了。

　　在黃燈轉為紅燈的這段時間里，應當能保證已經過線的車輛順利地通過街口，記街道的寬度為D(D很容易測得)，平均車身長度為，這些車輛應通過的路程最長可達到L+D+l，因而，為保證過線的車輛全部順利通過，黃燈持續時間至少應當為：

　　T=L+D+lv0

　　二、市場價格調整模型

　　對于純粹的市場經濟來說，商品市場價格取決于市場供需之間的關系，市場價格能促使商品的供給與需求相等這樣的價格稱為(靜態)均衡價格。

　　也就是說，如果不考慮商品價格形成的動態過程，那么商品的市場價格應能保證市場的供需平衡，但是，實際的市場價格不會恰好等于均衡價格，而且價格也不會是靜態的，應是隨時間不斷變化的動態過程。

　　如果設某商品在時刻t的售價為P，社會對該商品的需求量和供給量分別是P的函數D(P)，S(P)，則在時刻t的價格p(t)對于時間t的變化率可認為與該商品在同時刻的超額需求量D(P)-S(P)成正比，即有微分方程

　　dPdt=k[D(P)-S(P)] (k>0)

　　(3)

　　在D(P)和S(P)確定情況下，可解出價格與t的函數關系，這就是商品的價格調整模型。

　　某種商品的價格變化主要服從市場供求關系。

　　一般情況下，商品供給量是價格的單調遞增函數，商品需求量Q是價格P的單調遞減函數，為簡單起見，分別設該商品的供給函數與需求函數分別為

　　S(P)=a+bP，Q(p)=α-βP

　　(4)

　　其中a，d，α，β均為常數，且b>0，β>0。

　　當供給量與需求量相等時，由(4)可得供求平衡時的價格

　　Pe=α-aβ+b

　　并稱Pe為均衡價格。

　　一般地說，當某種商品供不應求，即SQ時，該商品價格要落。

　　因此，假設t時刻的價格P(t)的變化率與超額需求量Q-S成正比，于是有方程

　　dPdt=k[Q(P)-S(P)]

　　其中k>0，用來反映價格的調整速度。

　　將(4)代入方程，可得

　　dPdt=λ(pe-P)

　　(5)

　　其中常數λ=(b+β)k>0，方程(5)的通解為

　　P(t)=Pe+Ce-λt

　　假設初始價格P(0)=P0，代入上式，得C=P0-Pe，于是上述價格調整模型的解為

　　P(t)=Pe+(P0-Pe)eλt

　　由于λ>0知，t→+∞時，P(t)→Pe。

　　說明隨著時間不斷推延，實際價格P(t)將逐漸趨近均衡價格Pe。

　　這符合我們實際生活中具體事實。

　　微分方程模型及其應用【3】

　　摘要：微分方程模型應用于解決實際問題有非常大的研究空間，本文重點討論了微分方程的原理，微分方程思想對于解決現實問題的啟示以及現實生活中利用微分方程模型解決具體問題的案例，旨在進行微分方程理論學習之余提出自己的一些思考。

　　關鍵詞：微分方程;模型;應用

　　對于現實世界的變化，人們關注的往往是變量之間的變化率，或變化速度、加速度以及所處的位置隨時間的發展規律，之中的規律一般可以寫成一個(偏)微分方程或方程組。

　　所以實際問題中，有大批的問題可以用微分方程來建立數學模型，涉及的領域包括物理學、化學、天文學、生物學、力學、政治、經濟、軍事、人口、資源等等。

　　一、微分方程數學原理解析

　　在初等數學中，方程有很多種，比如線性方程、指數方程、對數方程、三角方程等，然而并不能解決所有的實際問題。

　　要研究實際問題就要尋求滿足某些條件的一個或幾個未知數方程。

　　這類問題的基本思想和初等數學的解方程思想有著許多的相似之處，但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質等方面依然存在很多不同的地方，為了解決這類問題，從而產生了微分方程。

　　微分方程是許多理工科專業需要開設的基礎課程，微分方程與微積分是同時產生的，一開始就成為人類認識世界和改造世界的有力工具，隨著生產實踐和科學技術的發展，該學科已經演變發展為數學學科理論中理論聯系實際的一個重要分支。

　　隨著數學建模活動的日益活躍，利用微分方程建立數學模型，成為解決實際問題不可或缺的方法與工具。

　　而數學模型是對于現實世界的一個特定對象，一個特定目的，根據特有的內在規律，做出一些必要的假設，運用適當的數學工具，得到一個數學結構.簡單地說：就是系統的某種特征的本質的數學表達式(或是用數學術語對部分現實世界的描述)，即用數學式子(如函數、圖形、代數方程、微分方程、積分方程、差分方程等)來描述(表述、模擬)所研究的客觀對象或系統在某一方面的存在規律。

　　二、微分方程模型應用于實際問題的方法和流程總結

　　在研究實際問題時，常常會聯系到某些變量的變化率或導數，這樣所得到變量之間的關系式就是微分方模型。

　　微分方程模型反映的是變量之間的間接關系，因此，要得到直接關系，就得求微分方程。

　　一般用于求解微分方程的方法或形式有三種，分別是求解析解、求數值解(近似解)和定性理論方法。

　　而建立微分方程模型的方法通常也有三種，其一是利用數學、力學、物理、化學等學科中的定理或經過實驗檢驗的規律等來建立微分方程模型;其二是利用已知的定理與規律尋找微元之間的關系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數及其導數應用規律;其三是在生物、經濟等學科的實際問題中，許多現象的規律性不很清楚，即使有所了解也是極其復雜的，建模時在不同的假設下去模擬實際的現象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數學上求解或分析所建方程及其解的性質，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬某些實際現象。

　　在建立數學微分方程的流程上，我們通常第一步是對具體實際問題進行分析，找出問題中的變化量和變量關系，接著進行模型假設，將實際問題的元素用數學概念代替，然后進行符號設定，簡化計算，從而建立模型，進行求解，最后用求解的結果對之前的問題分析和模型假設進行驗證，驗證合理后進行模型的應用和評估。

　　三、微分方程模型應用領域歸納和具體案例分析

　　從應用領域上講，微分方程大方向上的應用領域主要分社會及市場經濟、戰爭微分模型分析、人口與動物世界、疾病的傳染與診斷和自然科學這五個方面，如果細致來講，其中社會及市場經濟方面又包括綜合國力的微分方程模型、誘發投資與加速發展的微分方程模型、經濟調整的微分方程模型、廣告的微分方程模型、價格的微分方程模型;戰爭微分模型包括軍備競賽的微分方程模型、戰爭的微分方程模型、戰斗中生存可能性的微分方程模型、戰爭的預測與評估模型。

　　人口與動物世界領域包括單種群模型及進行開發的單種群模型、弱肉強食模型、兩個物種在同一生態龕中的競爭排斥模型、無管理的魚類捕撈模型、人口預測與控制模型;疾病傳染與診斷領域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病診斷的微分方程模型、人體內碘的微分方程模型、藥物在體內的分布與排除模型;自然科學領域包括人造衛星運動的微分方程模型、航空航天器翻滾控制的微分方程模型、非線性振動的微分方程模型、PLC電路自激振蕩的微分方程模型和盯梢與追擊問題的微分方程模型等。

　　盡管從上述微分方程應用領域的羅列和總結上，我們會覺得比較復雜，其實所有微分方程建模問題的流程都是嚴格按照問題分析、模型假設、符號設定、建立模型、模型求解和驗證模型這一流程進行的，下面就結合一個案例來具體分析：

　　比如弱肉強食微分方程模型。

　　生活在同一環境中的各類生物之間，進行著殘酷的生存競爭。

　　設想一海島，居住著狐貍與野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之豐富，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖;兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐貍數量增加吃掉大量兔子，狐群又進入饑餓狀態而使其總數下降，這時兔子相對安全，于是兔子總數回升。

　　就這樣，狐兔數目交替地增減，無休止的循環，遂形成生態的動態平衡。

　　那么，如何用建立數學模型描述并預測下一階段情況呢?在這個問題上，某一時刻兔子數量和狐貍數量就存在變量關系：

　　其中ax表示兔子的繁殖速度與現存兔子數成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度;-cy表示狐貍因同類爭食造成的死亡速度與狐貍總數成正比;dxy表示狐兔相遇，對狐貍有好處而使狐貍繁殖增加的速度。

　　四、結語

　　微分方程模型的應用讓很多現實中難以具體計算的問題迎刃而解，通過對事物發展規律的掌控進行科學建模，是數學應用于生活的發展趨勢，作為廣大在校進行數學專業學習的同學來說，掌握好專業基本功，是將來就業工作，實現自身價值的重要途徑。

　　參考文獻：

　　[1]肖靜宇. 幾類分數階微分方程的數值方法研究[D].哈爾濱工業大學，2013.

　　[2]付樹軍. 圖像處理中幾何驅動的變分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大學，2008.