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微分方程的應用教學
微分方程的應用教學【1】
摘 要： 本文通過一些簡單的實例來說明建立微分方程的方法，使學生明確建立微分方程時如何找等量關(guān)系，提高其應用數(shù)學的能力。
關(guān)鍵詞： 微分方程 等量關(guān)系 應用
在許多實際問題中，當直接導出變量之間的函數(shù)關(guān)系比較困難，但導出包含未知函數(shù)的導數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學工具之一。
建立微分方程的一般步驟：(1)建立方程：對所研究的問題根據(jù)已知定律或公式以及某些等量關(guān)系列出微分方程。(2)求解問題：用所學知識或用數(shù)學軟件求解。(3)分析問題：通過已求得的解的性質(zhì)，分析實際問題。
經(jīng)驗表明，對初學者來說，多數(shù)問題出在第一步，不知如何建立方程，其中一個重要原因是不知如何找出具體問題的等量關(guān)系。下面以分類的方式總結(jié)微分方程的應用。
一、幾何問題
這類問題常用到導數(shù)的幾何意義，曲線在某點的切線的斜率就是函數(shù)在該點的導數(shù)。
例1：一曲線通過點(4，8)且在該曲線上任意點M(x，y)處的切線斜率為3x，求這條曲線的方程。
解：設所求曲線方程為y=f(x)，由題意有，=3x，并且y|=8，于是y=?蘩3xdx=x+c，將y|=8代入上式，得8=64+C，故C=-56，從而得到所求曲線方程為：y=x-56.
二、動力學問題
動力學的基本定律是牛頓第二定律f=ma，這是微分方程解決力學問題的基本關(guān)系式。它的右端明顯地含有加速度a，而a是位移對時間的二階導數(shù)。列出微分方程的關(guān)鍵在于找出外力f和位移對時間的導數(shù)與速度的關(guān)系。同時，求解動力學問題時，要特別注意力學問題中的定解條件，如初值條件等。
例2：設降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘離開塔頂(t=0)時的速度為零，求降落傘下落速度與時間t的函數(shù)關(guān)系。
解：設降落傘下落速度為v(t)，它在下落過程中同時受到重力P與阻力R的作用。重力P=mg，方向與v一致，阻力R=kv(k>0為常數(shù))，方向與v相反，從而降落傘所受外力的合力為F=P-R=mg-kv，由牛頓第二定律F=ma，即v=(1-e)m=mg-kv，且有初始條件v|=0.
將方程分離變量，得=，兩邊積分得-ln(mg-kv)=+C.
整理得：v=-Ce(C=e)，將初始條件v|=0代入，得C=，故所求速度與時間的函數(shù)關(guān)系為v=(1-e).
三、光學問題
這類問題常用到光學反射定律α=α(入射角=反射角)，其中α、α分別是入射光線、反射光線與入射法線間的夾角。
例3：有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡(假設由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行，求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程。
解：設此凹鏡是由xOy面上曲線l：y=y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，光源在原點。在l上任取一點M(x，y)，作l的切線交x軸于A，點O發(fā)出的光線經(jīng)點M反射后是一條平行于x軸射線。
由光學及幾何原理可以證明OA=OM，因為OA=AP-OP=PMcotα-OP=-x，而OM=，于是得微分方程-x=，整理得=+，這是一個齊次方程。
問題歸結(jié)為解齊次方程=+，令=v，即x=yv，得v+y=v+，即y=，分離變量得=，兩邊積分得ln(v+)=lny-lnC?圯v+=?圯(-v)=v+1?圯-=1，以yv=x代入上式，得y=2C(x+).
這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線，它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為y+z=2C(x+)，這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程。
四、電學問題
這類問題常用到基爾霍夫定律：在閉合回路中，全部元件的電壓降的代數(shù)和為0。
例4：在RLC電路中(如下圖)，接有電源E，交流電動勢為Esinωt，不斷地供給能量，當開關(guān)K合上后，電路在電動勢作用下，不斷產(chǎn)生振蕩，試建立描述電路中電振動的微分方程。
解：設電容器上電量Q=Q(t)，則電流I=，由回路電壓定律有：
于是得電量Q滿足的微分方程：L+R+=Esinωt
它是一個關(guān)于未知函數(shù)Q(t)的二階常系數(shù)線性非齊次方程，它描述了在交流電壓的作用下，RLC電路中的電振蕩，這種振蕩稱為強迫振蕩。
五、經(jīng)濟學問題
新產(chǎn)品的推廣模型設有某種新產(chǎn)品要推向市場，t時刻的銷量為x(t)，由于產(chǎn)品性能良好，每個產(chǎn)品都是一個宣傳品，因此t時刻產(chǎn)品銷售的增長率與x(t)成正比。同時，考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N，統(tǒng)計表明與尚未購買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量N-x(t)也成正比，于是有=kx(N-x)(1.1)
其中k為比例系數(shù)，分離變量積分，可以解得x(t)=(1.2)
由=，=
當x(t)0，即銷量x(t)單調(diào)增加;當x(t)=時，=0;當x(t)>時，<0;當x(t)<時，即當銷量達到最大需求量N的一半時，產(chǎn)品最為暢銷，當銷量不足N一半時，銷售速度不斷增大，當銷量超過一半時，銷售速度逐漸減少。
國內(nèi)外許多經(jīng)濟學家調(diào)查表明，許多產(chǎn)品的銷售曲線與公式(1.2)的曲線(邏輯斯諦曲線)十分接近。根據(jù)對曲線性狀的分析，許多分析家認為，在新產(chǎn)品推出的初期，應采用小批量生產(chǎn)并加強廣告宣傳;在產(chǎn)品用戶達到20%到80%期間，產(chǎn)品應大批量生產(chǎn);在產(chǎn)品用戶超過80%時，應適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，可以達到最大的經(jīng)濟效益。
例5：某商場的銷售成本y和存貯費用S均是時間t的函數(shù)，隨時間t的增長，銷售成本的變化率等于存貯費用的倒數(shù)與常數(shù)5的和，而貯存費用的變化率為存貯費用的-倍。若當t=0時，銷售成本y=0，存貯費用S=10試求銷售成本與時間t的函數(shù)關(guān)系及存貯費用與時間t的函數(shù)關(guān)系。
解答：由已知=+5，=-S。解微分方程得S=Ce，由S|=10得C=10，故存貯費用與時間t的函數(shù)關(guān)系為S=10e將上式代入微分方程，得=e+5，從而y=e+5t+C，由y|=0，得C=-，從而銷售成本與時間t的函數(shù)關(guān)系為y=e+5t-.
六、流體混合問題
例6：有高為1m的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面面積為1cm。開始時容器內(nèi)盛滿了水，求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規(guī)律。
解：由水力學知道，水從孔口流出的流量Q可用下列公式計算：Q==0.62S，其中0.62為流量系數(shù)，S為孔口橫截面面積，g為重力加速度。現(xiàn)在孔口橫截面面積S=1cm，故=0.62或dV=0.62dt.
設在微小時間間隔[t，t+dt]內(nèi)，水面高度由h降至h+dh(dh<0)，則又可得到dV=-πrdh，其中r是時刻t的水面半徑(右端置負號是由于dh<0而dV>0的緣故，又因r==，所以dV=-π(200h-h)dh.
通過比較得到0.62dt=-π(200h-h)dh，這就是未知函數(shù)h=h(t)應滿足的微分方程。
此外，開始時容器內(nèi)的水是滿的，所以未知函數(shù)h=h(t)還應滿足下列初始條件：h|=100.
將方程0.62dt=-π(200h-h)dh分離變量后得dt=-(200h-h)dh，兩端積分得t=-?蘩(200h-h)dh，即t=-(h-h)+C，其中C是任意常數(shù).由初始條件得t=-(×100-×100)+C，C=(-)=××10，因此t=(7×10-10h+3h).
上式表達了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時間t之間的函數(shù)關(guān)系。
參考文獻：
[1]潘家齊.常微分方程[M].北京：中央廣播電視大學出版社，2002，7.
[2]同濟大學數(shù)學教研室編.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2002，7.
常微分方程的教學【2】
摘 要： 常微分方程是一門重要的數(shù)學基礎課，作者結(jié)合教學經(jīng)驗，對常微分方程的教學方法進行初步探討。
關(guān)鍵詞： 常微分方程 教學方法 數(shù)學建模 線性代數(shù) 微課
在自然科學和社會科學的研究中，許多現(xiàn)象及事物發(fā)展的規(guī)律都可用數(shù)學模型表示出來，而常微分方程是數(shù)學建模中最基本的工具。
同時，又是應用數(shù)學專業(yè)一門重要的基礎課，對先修課程及后續(xù)相關(guān)課程起到承上啟下作用。
現(xiàn)我對于怎樣教好常微分方程這門課以達到該課程教學目的，提高教學質(zhì)量，談談一些體會和看法。
一、讓學生了解常微分方程課程的特點，認識到學好該課程的重要意義。
常微分方程是學習其他數(shù)學理論后續(xù)課程的基礎，這些課程包括數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等。
課程本身既有嚴密的邏輯性，又有一定的應用性，但目前高校常微分方程課程大多還停留在傳統(tǒng)教師主講形式，偏理論，輕應用，使學生極易產(chǎn)生排斥心理。
因此，講授這門課內(nèi)容之前，教師不妨先利用一些簡單的物理、生物和化學等相關(guān)學科的模型引入，讓學生深刻認識到這門課是解決實際問題的有力工具，提高學生對課程的興趣。
二、培養(yǎng)學生的學習興趣。
教師要注意采用多種教學方法，不能為了趕教學進度直接把定義、定理、證明一一搬出來，使學生陷入枯燥的學習中，進而失去學好這門課的興趣。
因此，教師在教學過程中既要充分發(fā)揮自身的主導作用，又要讓學生積極、主動地參與到教學中。
比如，學習了二階常系數(shù)線性方程的求解后，可以引導學生根據(jù)中學時接觸過的單擺問題，先讓他們嘗試建立簡單的物理模型并加以討論，由此得到出現(xiàn)簡諧振動、共振現(xiàn)象的條件。
三、根據(jù)授課對象，對教學內(nèi)容進行適當增減，教學難度應有所不同。
學生所學的專業(yè)對數(shù)學基礎的要求不盡相同，因此，教師應該根據(jù)學生專業(yè)選擇授課內(nèi)容。
比如，若授課對象是應用數(shù)學或數(shù)理專業(yè)的學生，則除了要求掌握常微分方程的計算技巧外，還應強調(diào)基本數(shù)學定理的證明。
若授課對象為金融數(shù)學專業(yè)，常微分方程的作用主要體現(xiàn)在應用上，因此教師在授課中應側(cè)重數(shù)值計算，復雜的定理推導可以僅介紹證明思路。
此外，若教師在平時工作中注意收集相關(guān)實際案例，把這些案例引入各類專業(yè)課堂教學中，則對促進學生學習積極性提高起到至關(guān)重要的作用。
四、注意本課程與其他課程的相互滲透。
常微分方程教學內(nèi)容中，計算占了很大比例，而課程本身就是結(jié)合線性代數(shù)、解析幾何等相關(guān)數(shù)學知識解決數(shù)學理論和其他學科中出現(xiàn)的微分方程問題。
因此，教學中，除了讓學生掌握基本計算方法外，還要注意與其他課程的相互滲透。
如學習求解常系數(shù)線性方程組的基解矩陣這部分內(nèi)容時，若方程組的系數(shù)矩陣A(設為n階)恰好有n個線性無關(guān)的特征向量，則可直接利用課本上的定理寫出其基解矩陣。
此外，還可引導學生根據(jù)線性代數(shù)的知識知A可對角化，則通過可逆的線性變換必能將系數(shù)矩陣化為對角形，使得方程組的求解易于進行。
五、結(jié)合運用多媒體技術(shù)。
傳統(tǒng)的教學方法以板書為主，但是由于常微分方程這門課中定理的理論證明比較多，一味板書和講授會讓學生產(chǎn)生厭煩心理。
因此，教師應該把傳統(tǒng)教學方式與現(xiàn)代教學手段結(jié)合起來，借助多媒體把板書內(nèi)容適當變得有趣一些。
如學習解的延拓時，可以用動態(tài)畫面把這部分內(nèi)容展現(xiàn)出來，讓學生在腦海里有較為直觀的印象，接著引導學生思考、總結(jié)方程的解向左右兩邊延拓的情形究竟如何，最后教師對學生總結(jié)出的內(nèi)容給予相應修改、補充。
這樣教師既可以較為輕松地把抽象的定理內(nèi)容傳授給學生，又可以讓學生參與到課堂討論中。
六、將微課形式融入教學中。
近年來，微課在我國發(fā)展很快，這一新的教學形式逐漸成為教育信息化的熱點之一。
它不同于傳統(tǒng)課程，主要以教學視頻為表現(xiàn)形式，具有內(nèi)容少而精的特點。
由于常微分方程課時的限制，教師不可能將課程全部內(nèi)容都在課堂教學中呈現(xiàn)出來，而且有些較難的知識點通過教師的講授可能還有部分學生無法掌握。
因此，教師可根據(jù)課程內(nèi)容的特點，將微課適當引入教學中。
例如，講授求常系數(shù)線性方程組基解矩陣這一部分內(nèi)容時，在課堂上教師主要介紹根據(jù)空間分解理論所得的基本計算公式，至于其他計算方法，如利用約當標準形，以及利用哈密杜頓-凱萊定理的方法，教師可將其錄制成微課放在網(wǎng)上，供感興趣的學生自行學習。
這樣可以讓學生充分利用課余時間學習這門課，激發(fā)學生的學習熱情和創(chuàng)造性。
但需要注意的是，微課只是教學輔助手段，并不是所有常微分方程的知識都適合制作成微課，因此在知識點選擇上還需教師反復推敲，在教學中適當融入微課，才能達到提高教學質(zhì)量的目的。
常微分方程是一門重要的基礎課程，隨著科技進步，高校教師應緊跟時代前進步伐，更好地設置教學內(nèi)容和教學模式，盡可能深入淺出地講授這門課程。
參考文獻：
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