- 相關推薦
數學分析課程的教學改革與實踐論文
數學分析是近代數學的基礎，是現代科學技術中應用最廣泛的一門學科，是師范院校數學專業的一門主干基礎課。極限概念是數學分析中最重要的概念之一，數學分析中幾乎所有重要的概念，如連續、導數、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分以及級數的收斂性等定義都建立在極限的基礎上。極限理論是數學分析的基礎理論，極限思想貫穿整個數學分析學科。學生學習數學分析時要掌握的第一個重要概念就是極限概念。然而，極限概念敘述冗長，概念中的符號關系復雜，不易理解。初人數學分析門扉的讀者，都感覺極限概念不好捉摸，極限的精確定義不易理解。本文就極限思想的形成與發展、學生在學習極限概念時感到困惑的原因以及在教學中如何把握和理解極限概念等方面給予闡述。
1極限思想
初等數學主要研究事物相對靜止狀態的數量關系，而數學分析則主要研究事物運動、變化過程的數量關系。從初等數學發展到數學分析，研究對象發生了根本變化，這就必然引起研究方法的革新。極限就是為了適應研究事物運動、變化過程的數量關系而產生的一種新的數學方法。
從極限產生的歷史背景來看，極限概念產生于解決微積分學的基本問題：求面積、體積、弧長、瞬時速度以及曲線在一點的切線問題。然而，極限思想，人們在很早的時候就已經有了。極限思想起源于窮竭法，窮竭法通常以古希臘數學家歐多克索斯（Eudoxus公元前400-公元前350)命名，他認為量是無限可分的，建立了下列原理：“如果從任一量中減去不小于它的一半的部分，從余量中再減去不小于它的一半的另一部分，如此繼續下去，則最后留下一個小于任何給定的同類量的量”。古希臘數學家阿基米德（公元前284-公元前212)推廣了窮竭法，他在《論球和柱體》一書中，第一次給出了球和球冠的表面積，球和球缺的體積的正確公式。他指出，如果圓柱的底等于球的大圓，圓柱的高等于球的直徑，則球的表面積恰好等于圓柱的總面積的2/3，圓柱的體積恰好等于球的體積的3/2。這些結果是通過一系列命題一步一步推導出來的，這個過程蘊涵著積分思想。阿基米德把一個量看成由大量的微元所組成，這與現代的積分法實質上是相同的。但由于當時沒有實數理論，沒有無限的概念，因而沒有形成極限的概念。
極限思想在我國古代的文獻中也有記載，戰國時代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，也就是說一根長為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以無限地進行下去。公元263年，我國古代數學家劉徽在求圓的周長時使用的“割圓求周”的方法，就使用了極限方法。劉徽借助圓的內接正多邊形的周長來求圓的周長。其作法是：依次作圓的內接正六邊形、圓的內接正十二邊形、圓的內接正二十四邊形……，每個圓的內接正多邊形周長都可求得。圓內接正多邊形邊數越多，其周長就與圓的周長越接近，正如劉徽所說“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”這個方法蘊涵了極限思想。
十七世紀中葉，已形成了初等數學。由于生產力的發展，也推動了數學的發展。在十七世紀，物理學、天文學、航海學向數學界提出了許多新的問題，如：天體的運行軌道問題、變速運動物體瞬時速度問題、不規則幾何形體面積計算問題。這些問題用初等數學都不能獲得解決，要求用新的數學工具來解決，從而，人們開始研究運動著的物體和變化著的量，開始研究變量和函數。研究函數需用新的方法，因此，人們開始研究極限運算。十七世紀下半葉，英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲分別總結了前人的工作，創立了一個新的學科-一數學分析。這個學科的特點是，需要運用無限過程運算，即極限運算。數學分析的核心內容是微分學和積分學，而微分和積分的概念是通過極限來定義的。但當時極限概念是含糊不清的，許多理論常常不能自圓其說，也引出一些相互矛盾的東西。例如牛頓在1704年發表了《曲線的求積》一文，其中他確定了x3的導數。牛頓當時作法如下：
在這里Ax既可作分母，又可忽略，無窮小量既不是零卻又等于零，“召之即來，呼之即去”，完全隨心所欲。由于極限概念含糊不清，數學分析沒有堅實的基礎，因此悖論不斷產生。數學家在研究級數時做出了許多錯誤的證明，并由此得到許多錯誤的結論。
進人19世紀，數學陷人了巨大的矛盾之中，一方面，數學在描述和預測物理現象方面取得巨大成就，另一方面，由于大量的數學結構沒有邏輯基礎，因此不能保證數學是正確無誤的。歷史要求給微積分以嚴格的基礎。在德國數學家的倡導下，數學界對數學進行了一場批判性的檢查運動，對一些理論進行了嚴密的定義和嚴格的證明。柯西在1821-1823年間出版了《分析教程》、《無窮小計算講義》兩書，在書中，柯西給出了極限的精確定義，然后用極限定義連續性、導數、微分、定積分和無窮級數的收斂性，這些定義為數學分析奠定了堅實的基礎。
2極限概念教學
2.1極限概念是數學分析中最重要并且是最難掌握的一個概念，初學極限的人，都感覺極限概念難以掌握，極限概念的精確定義難以理解，弄不清為什么要這樣定義，表現出多方面的困惑：
2.11學生從小學到高中學習的都是常量數學，被研究的量都是固定不變的，且都是有限的。學生沒有遇到過無限的數學模型，習慣用一種靜態不變的觀點來分析問題。而極限是-個無限過程，需用運動、變化的觀點來考察問題。初學極限者，最難解決的是從有限到無限的轉變。學生在敘述極限概念時常會出現如下錯誤：“lima?=a<^vs>0,有la?-al<e”、“limf(x)=b<=>Ve>0,有lf(x)-bl<e”。
2.12在數列極限定義中，e是用來衡量^和^接近程度的，e愈小，表示接近得愈好，它除限于正數外，不受任何限制，這正說明《?和《能夠接近到任何程度。然而，盡管e有它的任意性，但當一經給出，就應暫時看作固定不變的，即e又有給定性，給定以后，以便根據它來確定N。另外，在應用中常用ke(k>0)、e2、A…代替e或把e限制在0<e<ro(r0是一大于零的實數）。學生常對E在定義中所充當的角色感到捉摸不透，e的雙重性給學生帶來困惑。如學生在極限證明中，常會選取e=ei+e2就是對e的任意性不太理解所致。
對于教學上的重點與難點，學生不易理解，常會出現記憶不牢，理解不透的現象，教師在教學中可采用講、論、練相結合的教學形式，結合學生的實際，注意改進教學方法，突被極限概念這一教學難點是不困難的。
【數學分析課程的教學改革與實踐論文】相關文章：
《材料化學》課程教學改革和實踐探討的論文10-10
新課標下《數學分析》教學改革的淺析論文10-11
數控加工課程教學改革探討論文10-12
新課程背景下數學教學改革論文10-11
中藥化學課程教學改革研究論文10-11
數控加工課程實訓教學改革探索的論文10-09