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高等數(shù)學(xué)中的化歸方法論文
摘 要：化歸方法是數(shù)學(xué)研究中最基本的思維方法之一。 本文分析了化歸方法的思維結(jié)構(gòu)， 并結(jié)合微積分學(xué)的相關(guān)內(nèi)容， 對(duì)化歸法逐一加以論述， 希望化歸方法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮重要作用。
關(guān)鍵詞：化歸方法 微積分學(xué) 思維 問題
數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，它具有邏輯性、系統(tǒng)性、條理性和抽象性等特點(diǎn)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)往往有一些客觀困難。為了使學(xué)生能掌握數(shù)學(xué)解題方法，教師往往采取題海戰(zhàn)術(shù)，增加了學(xué)生負(fù)擔(dān)，耗時(shí)多，效果卻不明顯。若能在教學(xué)中滲透幾種常見的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生掌握幾種特殊的解題方法，將會(huì)取得事半功倍的效果。化歸思想就是一種應(yīng)用很廣泛且靈活的數(shù)學(xué)思想，化歸方法是數(shù)學(xué)研究中最基本的思維方法之一，其特點(diǎn)是靈活性、多樣性、綜合性，它要求人們要有較深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)的“悟性“。辭海稱，化：改變、變化、高超也；歸：趨向、歸結(jié) 、返回也。所謂“化歸”，就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)。數(shù)學(xué)思維方法中所論及的“ 化歸方法”，就是通過變換，促使轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問題化歸為較為簡(jiǎn)單的問題，將困難的問題化歸為較為容易的問題，將求解的未知問題化歸為可以解決的已知問題。著名數(shù)學(xué)家路莎-彼得在其有關(guān)數(shù)學(xué)思維方法的著作《無窮的玩藝》中指出：“數(shù)學(xué)家們往往不是對(duì)問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷的將它變形。直到把它轉(zhuǎn)變成能夠得到解決的問題。”在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，許多杰出的數(shù)學(xué)家從不同的角度，對(duì)化歸方法做過精辟的分析和論述，其中笛卡爾在《指導(dǎo)思維的法則》一書中，將化歸方法稱為 “萬能方法” 。在數(shù)學(xué)研究工作中，總是試圖把高維的化為低維的，多元的化為一元的，高次的化為低次的，把幾何問題化為代數(shù)問題，把積分方程化為微分方程等等。這些都是化歸思維方法在起著主導(dǎo)作用。化歸方法必須遵循簡(jiǎn)單化原則，熟悉化原則、具體化原則以及和諧化原則，于化歸方法往往沒有統(tǒng)一的模式，因此應(yīng)當(dāng)采取且必須采取具體問題具體分析的方法來解決。本文就微積分中涉及的相關(guān)問題，利用化歸方法逐一討論。
一、恒等變形化歸法
這類化歸方法旨在找到等價(jià)命題，力求在恒等變形中找到容易解決等價(jià)命題，以此來解決原來的問題。
二、變量代換化歸法
變量代換的方法貫穿于微積分的始終，極限運(yùn)算中有等價(jià)無窮小的代換，積分中有第一、第二換元法等，都是運(yùn)用了變量代換化歸法。
三、構(gòu)造化歸法
閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理的“構(gòu)造性證明法”，微分中值定理證明中構(gòu)造的輔助函數(shù)等，都是微積分學(xué)中，構(gòu)造化歸法這一經(jīng)典思維方法運(yùn)用的典型例子。構(gòu)造化歸法的巧妙之處是其他方法不能取代的，從下列例子中可以看出。
例一：證明：當(dāng)x>0時(shí)，ex>1+x
直接證明難度非常大，因此需要把問題轉(zhuǎn)化，故構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=ex-1-x
然后由函數(shù)的單調(diào)性的判別法證明該不等式。
化歸方法絕不止以上幾種，還有復(fù)數(shù)法、向量法、參數(shù)法等，只是由于這些方法相對(duì)比較簡(jiǎn)單，在此就做贅述了。總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要經(jīng)常滲透一些數(shù)學(xué)思想和方法，引導(dǎo)學(xué)生變換角度思考、分析、解決問題， 帶領(lǐng)學(xué)生集思廣益，共同探求一個(gè)問題的不同解法和引申， 激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和廣闊性，促進(jìn)學(xué)生求異思維和創(chuàng)造性思維的發(fā)展。
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