數學挑戰性問題研究論文

　　數學課程標準中明確指出：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流等數學活動。內容的呈現應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求。”我認為這里的挑戰性非常重要，因為班級授課制的主要弱點誻很難兼顧學生的個體差異，這就使教師在進行授課時，許多學生處于被動學習狀態，大大降低了學生的學習效率。怎么做才能調動學生的學習積極性，使其和諧、自主地發展呢？設計挑戰性的問題可以說是一劑良藥，它可以觸發學生的非智力因素，激發學生的學習興趣和解決問題的欲望，使課堂活起來，下面結合實例談談自己的一些體會。

　　1.在動手操作中思考變與不變

　　在進行人教版14.1軸對稱第一課時的教學，為了突破難點——比較觀察軸對稱圖形和兩個圖形關于某直線對稱的區別和聯系，我設計了以下教學過程：

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　　師：剛才我們動手剪一些圖形，請你把它們擺成如圖所示的情形。(第一幅圖是軸對稱圖形，第二幅圖是兩個圖形關于某直線對稱)

　　分別移動或旋轉圖1中的松樹和圖2中的一個小人，什么變了什么沒變？你有什么發現？

　　生1：在移動或旋轉松樹的過程中，它們的形狀沒有變，位置變了。

　　師：它還是軸對稱圖形嗎？請用一句話歸納你的發現。

　　生1：是，軸對稱圖形是具有某種特征的一個圖形，與位置無關。

　　師：很好!誰能類似地說說圖2？

　　生2：在移動或旋轉圖2中一個小人的的過程中，兩個小人的形狀沒變，但一個小人的位置變了，兩個小人已不再關于某直線對稱，也就是說兩個圖形關于某直線對稱是兩個全等圖形之間的相對位置關系，與位置有關。

　　通過讓學生動手操作，并在操作過程中支思考——什么變了什么沒變，從而得到問題的本質，這樣的問題具有挑戰性，學生有興趣去親身實踐，不僅培養了學生的觀察能力，還培養了學生的歸納和語言組織能力。

　　2.在認知沖突下產生學習需要

　　在進行人教版3.2直線、射線、線段第一課時的教學時，我先讓幾位學生畫過點O的直線和過兩點A、B的直線(如圖)，然后提出問題：經過一點可以畫幾條直線？經過兩點呢？用一

　　句話概括你的結論。在得到“兩點確定一條直線”后，我又提出新的問題：剛才甲同學畫的是哪一條？乙同學呢？同學們面面相覷，既是知道是哪一條，也不能清楚地說出來，這就產生了認知矛盾，要想明確地表示不同的直線，就需要知道直線的表示方法。這時教師繼續追問：為什么過點O直線不能明確地說出誰畫的，而過點A、B的直線卻可以明確地知道呢？然后思考如何表示一條直線比較合理。在得到直線的表示方法后，讓學生獨立思考后再小組討論：能用同樣的方法表示線段和射線嗎？如果不能，應怎樣修改？

　　這樣從看似簡單的問題入手，引導學生一層層、一步步去挖掘問題的本質，使學生的大腦處于積極的思維狀態，提高了學生的積極性和學習效率。

　　3.在游戲背景下，逐漸提高問題的難度

　　新世紀中學的王宏強老師在講人教版3.1多姿多彩的圖形時，為了讓學生充分感知各種圖形的形狀特征，特別有創意地設計了一個魔術袋，里面裝了一些大小、形狀各異的立方體，讓學生一個一個地向外摸當時學生情緒很高。當學生摸出一個后，王老師問：“你摸出的是什么？它有幾個頂點、幾條棱、幾個面？”學生依次摸出了長方體、正方體、圓柱體、錐體等等，但因為眾多幾何體的出場順序和問題相同，所以后來學生的興趣劇減。我認為如果稍作修改，提出一些挑戰性的問題，將會增色不少。如將游戲分為三步走。第一步，讓學生任意摸出一個幾何體，看著它，利用視覺描述它的特征后再說出它的名稱；第二步，讓學生任意摸到一個幾何體，先別拿出來，利用手的觸覺描述它的特征，讓大家猜一猜是什么幾何體，然后拿出來進行驗證；第三步，讓學生根據老師描述的特征去摸出相應的幾何體，讓大家判斷正誤……

　　這樣層層遞進，不斷問題的難度，充分調動學生的視覺、觸覺及抽象思維，使學生的興趣逐漸達到高潮，這節課將會成為成為一堂很有特色的成功優質課。

　　4.在一題多解的環境下，探究問題的體質

　　一位教師在講解人教版七年級上冊P88的例2時介紹了兩種解法。

　　例2一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭到甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時。已知小流的速度是3千米/時，求船在靜水中的平均速度。

　　解法一：設船在靜水中的平均速度為x千米/時，根據往返路相等可列方程

　　2(x+3)=2.5(x-3)

　　解略

　　解法二：設甲乙兩碼頭之間的距離為x千米，由船在靜水中速度不變可列方程

　　解略

　　到這里似乎結束了，但學生還沒有深刻理解，教師應繼續提問：兩種方法有什么不同？又有什么聯系？要引導學生去思考，明白一種是設直接未知數，一種是設間接未知數，更要讓學生知道題目中有兩個未知數、兩個等量關系，設出一個未知數表示出另一個未知數時必然要用到一個相等關系，所以列方程時就必須用另一個相等關系，不然循環引用列出象x+3-3=x-3+3這樣的恒等方程來，使學生的思維在今后解應用題時更具目的性。

　　5.主動改編習題，養成挑戰性格，培養創新能力

　　現在的學生絕大部分疲于完成老師布置的作業、習題，思維和態度均處于被動狀態，這樣不僅會禁錮學生的思路，還容易將學生拉進盲目的題海之中。為了克服這些缺點，教師要引導學生將課本習題進行改編，換個條件、換個方向，以期體會出題者的意圖，培養探究能力和創新精神。

　　例1已知圓柱的底面半徑為6cm，高為10cm，螞蟻從A點爬到B點的最短路程是多少？

　　學生沿一條母線剪開得到側面展開圖后，容易求出最短路程為cm，待學生完全理解后，教師可將習題進行變式，提出下列問題：

　　(1)為什么要展開？

　　(2)如果半徑和高均為6cm，最短路程又為多少？

　　(3)若將點B移到點A的正上方，如圖，最短路線是哪一條？

　　(4)如果從點A繞圓柱一周后到達點B建一懸梯，則懸梯的最短長度是多少？

　　(5)如果圖(4)中的圓柱較高，為了減少坡度，點A需繞圓柱兩周到達點B，最短路程又是多少？

　　這樣不斷變換題目的條件，逐漸提高難度，學生要想正確解答出來，要進行合理的分類比較、正確地空間想象以及較強的分析綜合能力，(4)、(5)雖然較難，但(4)可仿照原題的思路解出，而(5)可以將其轉化為(4)來解決，同時還向學生滲透了轉化的數學思想，既培養了學生的興趣，又提高了學生的能力。

　　例2已知一個三角形的三邊分別是17，15,8，求這個三角形的面積。

　　此題是勾股定理之后的一道練習題，學生容易驗證此三角形為直角三角形，因此15和8分別為直角邊，所以面積是15×8/2=60。

　　這里教師可以提出一個新的挑戰性的問題：若將題目中的17改為10，還可以這么做嗎？

　　學生驗算后回答：不能，因為不是直角三角形，即條件不夠。教師接著問：已知三角形的三邊長度，它的形狀和大小是不是確定的？如果確定，條件應該夠，為什么不能做呢？

　　學生恍然大悟，作高!具體做法如下：

　　過點A作AD⊥BC于D，設BD=x，則DC=15-x，于是有

　　解出x就可求出高AD，從而可以求出三角形的面積。

　　此題訓練了學生的邏輯思維能力，滲透了方程思想，同時又強化了邊邊邊公理，可謂一舉多得，也讓學生體會到了創新的樂趣。

　　總之，挑戰性是高質量問題的一個顯著特征，問題具有了挑戰性，才能更好地調動學生的非智力因素，才會產生高質量地互動，解決此類問題也往往包含著數學思想方法和策略的應用，學生的智慧和人格自然會在這個過程中形成。

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