- 相關推薦
變分法在量子力學的應用
變分法在量子力學的應用【1】
摘 要 在處理物理問題及量子力學問題時，通常會應用到變分法。
變分法與處理數的函數普通微積分保持著相對立關系，屬于處理函數的一種方式。
歐拉-拉格朗日方程式是變分法最為重要的定理。
通過變分法，可以實現泛函臨界點對應。
變分法的出現推動了理論物理的進一步發展，在量子力學及相應最小作用量原理中發揮著十分重要的作用。
在概述變分法的基礎上，對變分法在量子力學物理領域的應用進行研究與分析。
實踐證明，在處理量子力學問題中，變分法發揮著重要作用。
關鍵詞 變分法;量子力學;最優控制
20世紀二三十年代，奧地利物理學家薛定諤提出一種可以進行微觀粒子體系運動行為的一波方程，被人稱之為薛定諤方程。
通過進行薛定諤方程求解，可以獲得體系波函數，應用體系波函數，可以確定體系性質，此后有學者對相對論效應狄拉克方程的確定進行了研究。
這些研究成果的出現，讓人們認為量子力學其普遍理論似乎已經基本完成，人類已經基本知曉了絕大部分物理學及物理定律。
解決問題困難及關鍵僅在于如何將這些定律進行現實應用。
狄拉克認為，隨著體系的不斷增加，薛定諤方程或狄拉克方程幾乎是不可解的。
針對這種現象，求解其方程的近似方法不斷被研究。
在物理量子學領域，進行薛定諤法方程求解，其主要方法包括微擾法及變分法。
束縛定態是建立于不含時間的薛定諤方程，即在能量變分原理的等價性基礎上，能量本征值方程解是通過對能量極值的求解來完成的。
在進行具體問題處理的過程中，通過波函數中一些特殊變化將最普遍任意變分進行替代，通過這種方法可以獲得依賴于波函數特殊形式的一種近似解，這種解決問題的方法被稱之變分法。
變分法用在解決如量子力學等物理問題領域。
變分法的應用，其優勢在于運用變分法進行方程求解并不會受到限制，在保證變分函數良好的基礎上，即可實現對體系基態性質的研究。
1 變分法概述
變分法與處理數函數普通微積分表現出相對立關系。
泛函是通過位置函數導數及相應位置函數積分來實現相應構造。
變分法應用的最終目的在于找出更好的極值函數，通過變分法，獲得泛函最大值或最小值。
歐拉-拉格朗日方程式屬于變分法最重要定理。
通過變分法，可以獲得相應泛函臨界點，在處理量子力學及其他物理問題時應用優勢十分明顯。
在解決量子力學問題時，解決微擾問題最為廣泛的方法是應用微擾法及變分法。
如應用微擾法進行量子力學問題的解決，其條件則為體系的哈密頓算符。
可以分為及兩個部分，則有：
= +
在微擾法中，本征函數及本征值屬于已知，則很小，如在解決問題時其滿足微擾法求解問題的基本條件，則可以實現量子問題求解。
然而在實際應用中，進行全體必要的矩陣元求和計算是十分困難的，其解決問題存在著一定的局限性。
應用變分法則不會受到條件限制。
如將體系哈密頓算符本征值由小到大進行排列，其順序如下：
E0，E1，E2，…En，… (1)
計算這些本征值對應本征函數，則有：
Ψ0，Ψ1，Ψ2，…，Ψn，… (2)
在公式中，E0代表的是基態能量，Ψ0代表的是基態波函數。
為便于研究，假設與本征值En是保持對立的，本征函數Ψn組成正交歸一系，則有：
Ψn=En+Ψn (3)
在公式中，設Ψ屬于任意歸一化波函數，將公式展開后獲得：
(4)
在進行Ψ狀態描述時，其體系能量平均值則為：
(5)
通過公式整理，則可以獲得：
(6)
因E0代表的是基態能量，為此，則有E0 (7)
=E0屬于Ψ歸一條件，則有：
(8)
公式(8)不等式說明，在進行任意波函數Ψ求解時所獲得的平均值總是較之基態能量較大，在進行Ψ平均值求解時，其中最小平均值與E0最接近。
當Ψ作為體系中Ψ0基態波函數時，此時基態能量E0則與平均值保持一致。
由此，實現變分法基態能量及基態波函數體系求解。
2 量子力學變分原理
如下，為某個微觀體系薛定諤方程：
(9)
該薛定諤方程為變分問題歐拉微分方程，其變分問題求解則是對其能量積分進行求解，則有：
(10)
能量積分極小值為：
(11)
將體系哈密頓量設為H，則有：
(12)
在滿足歸一化條件的基礎上，進行公式整理，則有：
(13)
實踐證明，經過歐拉微積方程整理，可以獲得薛定諤方程，證明微觀體系薛定諤方程是可以讓能量積分獲得極值時的歐拉微分方程。
以上公式，則為量子力學中變分原理。
3 變分法在量子力學中的應用案例
在量子物理或經典物理中，一維諧振子與很多物理現象存在較大關系，甚至可以將任何體系在穩定平衡點位置所進行的運動看作一種近似一維諧振子，如核振動、晶體結構離子及中原子振動等。
本文在分析量子力學變分原理的基礎上，進行一維諧振子研究。
將諧振子質量設為m，并沿x軸進行直線運動，則諧振子所受到勢能為，可以通過以下公式進行哈密頓量表示：
(14)
體系試探波函數為，按照歸一化條件，可以獲得。
則有：
(15)
通過公式調整，可以獲得以積分公式：
(16)
通過計算后獲得：
(17)
并獲得體系最低能量值為：
(18)
相應函數簡化后為： (19)
通過檢驗后發現，這種計算結果與求解結果相同，證明所選取的變分函數良好。
圖1為典型a下線性諧振子波函數及位置幾率密度分布圖。
波函數能夠滿足高斯型分布，在x=0位置，存在明顯峰值，隨著a逐漸降低，其峰值降低，且峰寬度逐漸增加。
從圖1中可以看出，波函數幾率密度分布狀況與波函數、分布曲線形狀基本保持一致。
應用變分法所求解出的波函數幾率分布存在一定差異。
由此可以看出，應用變分法解決量子力學問題時，雖然其可以簡單方便地進行體系基態性質求解，但其屬于解決問題的近似方法，其近似程度隨著參數變化發生變化。
只有保證所選擇的波函數滿足邊界條件及歸一化條件，參數越多時，其結果越好。
變分法其應用的優點在于其求解過程并不受到什么限制，但其結果好壞完全是由嘗試波函數選擇來確定。
為此，在應用結構變分法解決物理量子力學問題時，應保證變分法所選擇的嘗試波函數的合理性及科學性。
4 結語
當前，微擾法及變分法是處理物理量子力學問題常見的方法。
微擾法求解存在一定局限性，變分法求解并不受到任何限制，變分法屬于處理函數的一種方式，與處理數的函數的普通微積分保持著相對立關系。
應用變分法，可以實現泛函臨界點對應。
變分法在解決物理問題中發揮著十分重要的作用，尤其是在量子力學領域。
本文在概述變分法的基礎上，對量子力學變分原理進行分析，并通過一維諧振子對變分法在量子力學中的應用進行分析。
通過實踐證明，變分法在處理量子力學問題方面具有較大優勢，保證嘗試波函數選擇合理性，是實現變分法效果的關鍵。
參考文獻
[1]鄧小輝，許成科，汪新文，等.變分法在量子力學中的應用[J].衡陽師范學院學報，2013，34(3)：146-148.
[2]陳霞，唐晨.量子力學基態能量計算的改進蟻群優化算法[J].計算物理，2010，27(4)：624-632.
[3]額爾敦朝魯，烏云其木格，寶日瑪，等.量子棒中強耦合磁極化子基態能量的磁場和溫度依賴性[J].中國石油大學學報：自然科學版，2010，34(6)：177-180.
[4]蔣逢春，蘇玉玲，李俊玉，等.量子尺寸效應對InGaN/GaN量子點中的類氫雜質態的影響[J].鄭州輕工業學院學報：自然科學版，2012，27(2)：102-104.
[5]葉霄凌.內拋物柱形量子線的電子基態能量[J].科技風，2011(21)：49-50.
[6]陳勇，韓波，肖龍，等.多尺度全變分法及其在時移地震中的應用[J].地球物理學報，2010，53(8)：1883-1892.
[7]李慎旺，李學剛，袁美霞，等.加權殘值法在軋輥軸撓度計算中的應用[J].軋鋼，2012，29(5)：29-31.
量子力學的新應用【2】
摘 要:首先分析了量子力學對計算機技術發展的影響,再詳細說明了將量子力學應用在計算機技術中可使量子計算機具有優越的性質,最后介紹了未來量子計算機發展的趨勢。
關鍵詞:量子力學 量子計算機
1量子力學對計算機技術發展的影響
自1646年第一臺電子計算機問世以來,其芯片發展速度日益加快。
按照芯片的摩爾定律 ,其集成度在不久的將來有望達到原子分子量級。
在享受計算機飛速發展帶來的種種便利的同時,我們也不得不面臨一個瓶頸問題,即根據量子力學理論,在芯片發展到微觀集成的時候,量子效應會影響甚至完全破壞芯片功能。
因此,量子力學對計算機技術發展具有決定性作用。
1.1量子力學簡介
量子力學是近代自然科學的最重要的成就之一. 在量子力學的世界里,一個量子微觀體系的狀態是由一個波函數來描述的,而非由粒子的位置和動量描述,這就是它與經典力學最根本的區別。
1.2量子力學與量子計算機
量子力學的海森堡測不準原理決定了粒子的位置和動量是不能同時確定的()。
當計算機芯片的密度很大時(即很小)將導致很大,電子不再被束縛,產生量子干涉效應,而這種干涉效應會完全破壞芯片的功能。
為了克服量子力學對計算機發展的限制,計算機的發展方向必然和量子力學相結合,這樣不僅可以越過量子力學的障礙,而且可以開辟新的方向。
量子計算機就是以量子力學原理直接進行計算的計算機.保羅•貝尼奧夫在1981年第一次提出了制造量子計算機的理論。
量子計算機的存儲和讀寫頭都以量子態存在的,這意味著存儲符號可以是0、1以及它們的疊加。
2量子計算機的優點
近年來的種種試驗表明,量子計算機的計算和分析能力都超越了經典計算機。
它具有如此優越的性質正在于它的存儲讀取方式量子化。
對量子計算機的原理分析可知,以下兩個個特性是令量子計算機優越性的根源所在。
2.1存儲量大、速度高
經典計算機由0或1的二進制數據位存儲數據,而量子計算機可以用自旋或者二能級態構造量子計算機中的數據位,即量子位。
不同于經典計算機的在0與1之間必取其一,量子位可以是0 或者1,也可以是0和l的迭加態。
因此,量子計算機的n個量子位可以同時存儲2n個數據,遠高于經典計算機的單個存儲能力; 另一方面量子計算機可以同時進行多個讀取和計算,遠優于經典計算機的單次計算能力。
量子計算機的存儲讀取特性使其具有存儲量大、讀取計算速度高的優點。
2.2可以實現量子平行態
由量子力學原理可知,如果體系的波函數不能是構成該體系的粒子的波函數的乘積,則該體系的狀態就處在一個糾纏態,即體系的粒子的狀態是相互糾纏在一起的。
而量子糾纏態之間的關聯效應不受任何局域性假設限制,這使兩個處在糾纏態的粒子而言,不管它們離開有多么遙遠,對其中一個粒子進行作用,必然會同時影響到另外一個粒子.正是由于量子糾纏態之間的神奇的關聯效應, 使得量子計算機可以利用糾纏機制,實現量子平行算法,從而可以大大減少操作次數。
3量子計算機發展現狀和未來趨勢
3.1量子計算機實現的技術障礙
到目前為止,世界上還沒有真正意義上的量子計算機,它的實現還有許多技術上的問題。
量子計算機的優越性主要體現在量子迭加態的關聯效應. 然而,環境對迭加態的影響以及迭加態之間的相互作用會使這種關聯效應減弱甚至喪失,即量子力學去相干效應.因此應盡量減少環境對量子態的作用。
同時,萬一由于相干效應引入了錯誤信息,必需能及時改正,這需要進一步的研究和實驗。
另一方面,量子態不能復制,使得不能把經典計算機中很完善的糾錯方法直接移植到量子計算機中來.由于量子計算機在計算過程中不能對量子態測量, 因為這種測量會改變量子態, 而且這種改變是不可恢復的,因此在糾錯方面存在很多問題。
3.2量子計算機的現狀
由于上述兩種原因,現在還無法確定未來的量子計算機究竟是什么樣的, 目前科學家門提出了幾種方案.
第一種方案是核磁共振計算機. 其原理是用自旋向上或向下表示量子位的0 和1 兩種狀態,重點在于實現自旋狀態的控制非操作,優點在于盡可能保證了量子態和環境的較好隔離。
第二種方案是離子阱計算機. 其原理是將一系列自旋為1/2 的冷離子被禁錮在線性量子勢阱里, 組成一個相對穩定的絕熱系統,重點在于由激光來實現自旋翻轉的控制非操作其優點在于極度減弱了去相干效應, 而且很容易在任意離子之間實現n 位量子門。
第三種方案是硅基半導體量子計算機. 其原理是在高純度硅中摻雜自旋為1/2的離子實現存儲信息的量子位,重點在于用絕緣物質實現量子態的隔絕,其優點在于可以利用現代高效的半導體技術。
此外還有線性光學方案, 腔量子動力學方案等.
3.3量子計算機的未來
隨著現代科學技術的發展,量子計算機也會逐漸走向現實研制和現實運用。
量子計算機不但于未來的計算機產業的發展緊密相關,更重要的是它與國家的保密、電子銀行、軍事和通訊等重要領域密切相關。
實現量子計算機是21 世紀科學技術的最重要的目標之一。
參考文獻:
[1]胡連榮. 速度驚人的量子計算機[J].知識就是力量
[2]付剛.“量子計算機”解密[N].中安在線-安徽日報
[3]譚華海.量子計算機研究的最新進展[J].教育部科技發展中心內刊.
[4]朱迅. 量子計算機[J].三思科學.
[5]張同民.量子計算機原理簡介[J].黑龍江科技信息.
數值計算在量子力學教學中的應用及優勢【3】
摘要：量子力學一直以來都是高等物理教學的重點和難點。
為了避免煩瑣的數學推導，提高學生對量子力學的學習興趣，應將數值計算作為一個虛擬實驗平臺引入到量子力學的教學中。
關鍵詞：量子力學;數值計算;諧振子
一、引言
量子力學是研究微觀粒子運動規律的物理學分支學科，與相對論一起構成了現代物理學的理論基礎[1]。
對于高等院校物理專業的學生，量子力學在基礎課程中占有核心地位。
通過學習量子力學，可進一步將學生對客觀物質世界的感性認識提升到理性認識。
因此，對于高校量子力學教師而言，形象、生動的課堂教學不僅能激發學生的學習興趣，而且還能完善和拓展學生的物理專業知識，從而提高學生的思維水平和培養他們的科研能力。
對于大部分初學者，除了難以理解量子力學中一些與常理相悖的知識外，煩瑣的數學推導使很多同學對量子力學望而生畏。
如果高校教師繼續沿用傳統的解析推演、口述筆寫的教學方式，將加大學生學習量子力學的難度。
此外，量子力學的授課內容大部分屬于理論知識，受條件的限制，許多高校無法為學生開設實驗課程，這使得學生對抽象的量子力學現象缺乏客觀認識。
隨著計算機的不斷發展，很多教師將一些數值計算引入到了量子力學教學中，不僅有效地規避了煩瑣的數學解析推演，而且也能作為量子力學授課的理想實驗平臺，為學生形象地展示量子力學中的一些抽象且難以理解的量子現象和概念[2，3]。
因此，為了降低學生學習量子力學的難度，提高學生對量子力學的學習興趣，應鼓勵高校教師將計算機及數值計算搬進量子力學的教學課堂。
本文將通過具體的一些量子力學實例來說明數值計算應用于量子力學教學過程中的優勢。
二、數值計算在量子力學教學中的應用實例
我們將以一維勢場中單個粒子的定態及含時演化為例來說明數值計算在量子力學教學中的應用。
為了簡單，我們以Matlab軟件作為數值計算的平臺。
例1：一維定態薛定諤方程的數值計算
在量子力學中，描述單個粒子在一維勢場V(x)中運動的定態薛定諤方程如下：
- +Vxψx=Eψx (1)
這里我們假設m=?攸=1。
原則上，通過從定態薛定諤方程中求解出波函數ψ(x)，我們可以知道該粒子在勢場V(x)中運動的所有信息。
然而，方程(1)是否存在解析解，在很大程度上依賴于勢場V(x)的具體形式。
對于較為簡單的勢場，例如大家熟知的無限深勢阱及諧振子勢阱，很容易解析求解方程(1)。
相反，如果勢場V(x)的形式比較復雜，如周期勢或雙勢阱，則必須借助于數值計算。
因此，當學生學會利用數值計算求解無限深勢阱或諧振子勢阱中的定態薛定諤方程時，則很容易舉一反三的將其推廣至較為復雜的勢場，從而避免了煩瑣的數學問題。
以下是基于Maltab軟件并利用虛時演化方法所編寫的計算定態薛定諤方程的程序：
clearall
N=100;x=linspace(-6，6，N+1);dx=x(2)-x(1);dt=0.001;dxdt=dt/dx^2;
V=0.5*x.^2;%諧振子勢函數
temp=1+dxdt+dt*V;
psi=rand(1，N+1);%初始波函數
psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化波函數
psi1=psi;
for k=1：10000000
%---------迭代法求解三對角方程---------
psi2=zeros(1，N+1);
for m=1：100000000
for j=2：N
psi2(j)=(psi(j)+0.5*dxdt*(psi1(j+1)+psi1(j-1)))/temp(j);
end
emax=max(abs(psi2-psi1));psi1=psi2;
ifemax<1e-8
break
end
end
psi1=psi1/sqrt(sum(abs(psi1).^2*dx));emax=max(abs(psi-psi1));psi=psi1;
ifemax<1e-6 %波函數收斂條件
break
end
end
作為例子，我們利用上述程序分別計算出諧振子和雙勢阱中的基態解。
程圖1(a)中展示了諧振子的基態解，從中可以看出，數值計算的結果和精確解一致。
對于V (x)= x +ae 的雙勢阱(這里a為勢壘高度，b為勢壘寬度)，由于波函數滿足相同的邊界條件ψ(x→±∞)=0，則只需要將上述程序中的諧振子換成V (x)即可，其基態波函數展示在圖1(b)中。
從圖1(b)中可以看出，隨著勢壘高度的增加，粒子穿過勢壘的幾率越來越低。
由此可見，利用數值計算能形象地描述粒子在雙勢阱中的勢壘貫穿效應，這降低了學生對該現象的理解難度，同時提高了教師的授課效率。
例2：一維含時薛定諤方程的數值計算
在量子力學中，描述單個粒子在一維勢場V(x)中運動的含時薛定諤方程如下：
i =- +V(x)ψ(x，t) (2)
該方程為二階偏微分方程，對于一般形式的外勢V(x)很難嚴格求解該方程。
因此，我們借助時間劈裂傅立葉譜方法進行數值求解，其Matlab程序代碼如下：
clearall
N=200;L=20;dx=L/N;x=(-N/2：N/2-1)*dx; K=2*pi/L;k=fftshift(-N/2：N/2-1)*K;
V=0.5*3*x.^2;
psi=exp(-(x-2).^2);psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%歸一化初始波函數
t=linspace(0，10，1001);dt=t(2)-t(1);F=exp(-i*0.5*dt*k.^2/2);
for j=1：length(t);
%---------時間劈裂譜方法求解---------
psi=ifft(F.*fft(psi));
psi=exp(-i*V*dt).*psi;
psi=ifft(F.*fft(psi));
U(j，：)=psi;
end
作為例子，我們分別選取了諧振子勢阱的基態波函數和非基態波函數作為時間演化的初始值。
從圖2中可以看到，當初始值為基態波函數時，波包的構型并不會隨著時間的演化而發生形變，這說明粒子處于動力學穩定的狀態。
相反，當我們將初始波函數的波包中心稍作挪動，則隨著時間的演化，波包將在勢阱中做周期性振蕩。
我們可以讓學生利用數值程序證明波包振蕩周期等于諧振子的頻率。
此外，如果我們將初始波函數改為諧振子的激發態，并在初始時刻加上一個較小的擾動項，則可利用時間演化程序證明激發態在外界的一定擾動下而變得動力學不穩定。
因此，數值程序為我們提供了驗證理論結果的理想實驗平臺，有利于學生對抽象物理概念的理解。
三、結語
基于Matlab軟件，我們以量子力學中的定態和含時薛定諤方程為例來說明數值計算應用于量子力學教學過程中的優勢。
數值計算不僅有效避免了煩瑣的數學公式推導，而且也可當作理想的實驗平臺來形象地展示量子力學中一些抽象的物理現象。
高校教師借助于數值計算能拓展學生的物理專業知識，提高他們對量子力學的學習興趣，培養他們利用數值計算做一些簡單的科學研究。
參考文獻：
[1]曾謹言.量子力學卷I[M].第五版.北京：科學出版社，2014.
[2]張杰.吸收介質的Mie散射光學特性研究[J].安慶師范學院學報：自然科學版，2003，9(4)：53.
[3]張小偉，趙華.Matlab在量子力學教學中的簡單應用[J].科技信息，2013，(24).
【變分法在量子力學的應用】相關文章：
量子力學的新應用10-07
矩陣的等價標準型在量子力學的應用10-05
“量子力學”教學淺談10-26
經典理論與量子力學的聯系10-07
量子力學教學方法10-07
量子力學中的波動學10-05
量子力學對稱假說研究10-07
量子力學的教學方法改革09-30