圓錐曲線的性質及推廣應用

　　在我們現行使用的高中數學教材中,圓與圓錐曲線是分兩個章節進行教學的.但我們知道事實上圓可看作當e=0時的特殊的橢圓,從圓錐曲線是平面截圓錐曲面所得的交線這個角度看,圓與圓錐曲線也應該是同一家族的一個成員.它們應該有某種內在"血緣關系",應該有很多共性值得我們關注與重視.本人在平時教學中發現圓的很多性質能夠在圓錐曲線中進行很好的推廣與應用. 下面小編為大家帶來了關于圓錐曲線的性質及推廣應用的論文。

　　摘要：在高中階段，學生對圓錐曲線性質的掌握及應用，是現今我國高考數學的考查重點。作為高中數學教師，我們要積極探究圓錐曲線在解析幾何下的分類，然后利用這些平面解析幾何的知識以及數形結合的數學思考模式，對圓錐曲線的基本性質及推廣應用進行總結、證明，并將其應用于對學生的解題教學中。

　　關鍵詞：高中數學;圓錐曲線;性質;推廣;應用;解題

　　圓錐曲線是解析幾何的重要內容，其對于幾何問題的研究卻是利用代數的解題方法。而且，對于高中生來說，圓錐曲線的性質掌握及其推廣應用是目前我國高考數學的重點考查內容。從更深層次來講，加強對于圓錐曲線分類與性質的研究，在一定程度上可以幫助學生打開解題思路、提高解題技巧，同時培養學生以數學思維能力、創新能力為代表的綜合能力。

　　因此，為了使學生能夠更好地掌握圓錐曲線的性質及其的推廣應用，且進一步提高學生的數學學習素質，作為高中數學教師的我們，就要積極探討圓錐曲線在解析幾何下的分類及其性質，注重對學生圓錐曲線性質及其推廣應用的教學。

　　一、 圓錐曲線的定義

　　對于圓錐曲線在解析幾何下的分類及性質的研究前提，是對于圓錐曲線定義的了解及掌握。本文，筆者從三個方面介紹圓錐曲線的定義。

　　1、 從幾何的觀點出發。

　　我們說，如果用一個平面去截取另一個平面，然后兩個平面的交線就是我們所要研究的圓錐曲線。嚴格來講，圓錐曲線包含許多情況的退化，由于學生對于數學知識學習的局限性，對于圓錐曲線的教學，我們通常包含橢圓、雙曲線和拋物線，這三類的知識內容。

　　2、 從代數的觀點出發。

　　在直角坐標系中，對于圓錐曲線的定義就是二元二次方程 的圖像。高中生在其的學習中，可以根據其判別式△的不同，分為橢圓、雙曲線、拋物線以及其他幾種退化情形。

　　3、 從焦點-準線的觀點出發。

　　在平面中有一個點，一條確定的直線與一個正實常數e，那么所有到點與直線的距離之比都為e的點，所形成的圖像就是圓錐曲線。

　　學生在具體的圓錐曲線學習中可以了解到，如果e的取值不同，這些點所形成的具體的圖像也不同。

　　(1) 如果e的取值為1，那么那些點所形成的圓錐曲線是一條拋物線;

　　(2) 如果e的取值在0到1之間，那么圓錐曲線就為橢圓;

　　(3) 如果e的取值大于1，那么圓錐曲線就為雙曲線。

　　但是，嚴格來說，在數學的研究領域，這種焦點-準線的觀點是只能定義圓錐曲線的幾種的主要情形的，是不能算作為圓錐曲線的定義。但是，在對于學生的圓錐曲線教學中，這種定義被廣泛使用，并且，其也能引導出許多圓錐曲線中的重要的性質、概念的。

　　二、 圓錐曲線的分類

　　1、 橢圓。

　　橢圓上的任意一個點到某個焦點與一條確定的直線的距離之比都是一個大于0且小于1的實常數e，而且這個點到兩個焦點的距離和為2a。一般情況下，我們稱這條確定的直線為橢圓的準線，e就是我們經常說的橢圓的離心率。

　　2、 雙曲線。

　　雙曲線上的任意一點到其焦點與一條確定直線的距離之間為一個大于1的實常數e。同樣的，這條確定直線也是一條準線，其為雙曲線的準線，e為雙曲線的離心率。

　　3、 拋物線。

　　拋物線上的任意一點到其定點與一條確定直線的距離之比等于1。同樣地，這條確定的直線為拋物線的準線。

　　三、 圓錐曲線的基本性質

　　1、 橢圓的基本性質。

　　在高中對于圓錐曲線的學習，通常包含兩個定義和三個基本定理。

　　定義1 即橢圓的定義，課本上是這樣表述的：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于實常數2a(2a>|F1F2|)的動點P的軌跡叫做橢圓。簡單地用公式來表達，就是|PF1|+|PF2|=2a。

　　定義2 即橢圓的第二定義，關于橢圓的準線方程及其離心率。

　　動點P(x，y)與定點F(-c，0)，即橢圓的焦點的距離和它到確定直線 的距離的比為實常數 (a>c>0)時，那么P點的軌跡即為橢圓。簡單來說，即到定點確定直線的距離的比等于定值e(0　　定理1 假設AB是橢圓的右焦點弦，準線與x軸的交點為M，則∠ABM小于 。

　　定理2 假設橢圓 與一過焦點的直線交于A(x1，y2)，B(x2，y2)兩點，則AB就被稱為橢圓的弦，并且有|AB|的值等于 │ │。

　　定理3 假設橢圓 與一過焦點且垂直于長軸F1F2的直線交于A，B兩點，那么我們把AB稱為通徑，并且有|AB|的值等于 。

　　2、 雙曲線的基本性質。

　　對于圓錐曲線中雙曲線的學習，在高中階段，學生對其需主要掌握兩個定義及基本定理。

　　定義1 平面內動點P與兩個定點F1，F2的距離差的絕對值為一個確定常數，P的運動軌跡就叫做雙曲線。即||PF1|-|PF2||=2a，標準方程為 。這兩個定點就是我們常說的，雙曲線的焦點。兩焦點之間的距離為雙曲線的焦距，通常我們把|F1F2|記為2c。

　　定義2 雙曲線的第二定義，也是關于其準線方程及離心率的。

　　動點P(x，y)與定點F(-c，0)的距離和它到確定直線 的距離的比是常數 (a>c>0)時，P點的運動軌跡即為雙曲線。簡單的說，到定點與到確定直線的距離比等于一個定值e (e>1)的點的集合所形成的的圖像就是雙曲線。我們把定值 (e>1)，叫做橢圓的離心率。確定直線為準線，方程是 。

　　定理1 漸近線是雙曲線特有的性質，漸近線可以與雙曲線無限接近，但這兩者卻永不會相交，當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的漸近線方程是 ;而當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的漸近線方程是 。 　　定理2 當實軸長與虛軸長相等時，即2a=2b，此時雙曲線被稱為等軸雙曲線，它的漸近線方程就為 ，而標準方程是x2-y2=C，其中C≠0;離心率 。

　　3、 拋物線的基本性質。

　　拋物線對于學生在圓錐曲線的學習過程中，其相對于橢圓與雙曲線，無論是從解題技巧，還是從思維方式，它對于學生的學習來說，還是相對較為簡單的。拋物線的性質，在學生的學習過程中，較為常接觸的有兩個定義、三個定理。

　　定義1 平面內到一個定點P和一條確定直線l的距離都相等的點的集合所形成的的圖像叫做拋物線，而這個點P就叫做拋物線的焦點，確定的直線l就叫做拋物線準線。

　　定義2 定點P不在確定的直線l上時的情況，對于離心率e的比值不同時，圓錐曲線的圖像也不同。當e=1時，圓錐曲線的圖像為拋物線，而當01時其為雙曲線。

　　拋物線的標準方程有四種形式，這一知識點較為簡單，且在高中數學的實踐教學中，學生對這一知識點也能迅速的理解、掌握，所以在這里筆者就不一一說明了。

　　四、 圓錐曲線的推廣應用

　　對于學生高中階段的學習，上文所提到的圓錐曲線的這些基本性質只是起到穩固學生基礎的作用，要想使得學生在圓錐曲線的學習上有更加良好的進步、發展，進一步對學習的知識進行穩固，并培養學生的創新能力、自主學習能力等各種綜合能力，這就使得，作為高中數學教師的我們就要利用這些基本性質，對其進行推廣，得出更進一步的推理定理，從而提高學生圓錐曲線中的解題技巧。

　　而筆者對于在課堂教學中對于學生提出的問題進行了積極的研究，并且對圓錐曲線的這些基本性質也同樣進行了深入的研究，兩者相結合，得出了這么兩個推理定理。

　　推理定理1 F是橫向型圓錐曲線的焦點，E是與焦點F相對應的準線和對稱軸的交點，經過F且斜率是k的直線交圓錐曲線于A，B兩點，e 是圓錐曲線的離心率，如果< ， >=θ，則五、 總結

　　圓錐曲線在歷年高考中都會出現，其涉及的題型范圍也很廣泛，且分值都較高。但是學生在圓錐曲線上沒有太多的解題技巧，解題思路往往也會受到自身的限制。這就要求作為高中數學教師的我們，加強學生對于圓錐曲線的基本性質的理解與掌握，而且我們要在教學之余加深對圓錐曲線的研究，利用其基本性質進行推廣，得到多種推廣性推理定理，從而提高學生的解題技巧、擴展學生的數學思維。

　　我們在對圓錐曲線的性質進行推廣應用時，相應地，我們還要加強自身在教學過程中對圓錐曲線的教學內容及重難點的掌握。而在日常生活中，我們在對學生的解題技巧進行訓練，要嚴格把握好題目的難易程度，使得學生可以在提高解題技巧的同時，樹立自己在考試中的信心。

　　參考文獻：

　　[1]李滿春.高中課堂之變式教學[J]數理化學習

　　[2]楊麗.拋物線焦點弦的性質及其應用[J]科技信息

　　[3]劉夏進.圓錐曲線探索性學習一例[J]. 教育教學論壇

　　[4]《圓錐曲線與方程》(人教A版選修1-1)

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