高等代數在抽象代數中的應用

時間：2023-03-31 22:12:35 數學畢業論文我要投稿

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高等代數在抽象代數中的應用

　　高等代數為抽象代數教學提供了很多模型和例子，本文從變換、等價關系、群、環、域、零因子和環上的運算規律等方面具體闡述如何在抽象代數教學中應用高等代數知識.

　　摘要：　高等代數是數學專業一門重要的基礎課程，為學生學習抽象代數提供了必要的基礎[1-4].抽象代數是數學專業的必修課程，是對高等代數中出現的數域、多項式等概念進一步抽象概括，是高等代數的繼續和高度抽象化[5-8].因此，高等代數為抽象代數提供了很多具體的模型.

　　關鍵詞： 抽象代數;高等代數;數學專業

　　高等代數和抽象代數聯系緊密，但鮮有學生能領悟到它們之間的關系.學生普遍認為，高等代數比較容易接受和理解，抽象代數難以理解[9-13].作為一名教師，要利用學生熟知的高等代數知識引入定義或設為例子，使學生接受“抽象代數知識來源于熟悉的模型”這一觀念.本文將從以下知識點入手，探討如何在抽象代數教學中應用高等代數知識.

　　1 “變換”概念的鞏固

　　一個集合A到A的映射稱為A上的一個變換.教材[8]首先給出變換的定義，隨之給出3個簡單例子，學生基本上能掌握這個概念.但是教材[8]中沒有適合學生做的課后習題，為了鞏固學生所學的知識，可布置這樣一道課后習題：高等代數書[4]中也有“變換”和“線性變換”這兩個概念，請同學們分析[4]中的變換和這里的變換有什么關系.到下次上課前，先幫助學生溫習變換的概念，再檢查其課后作業，最后總結：高等代數中所提到的變換是某個線性空間到自身的映射，線性變換是線性空間上的變換并保線性性，而抽象代數中的變換是指任何集合到自身的映射.

　　2 “等價關系”概念的引入

　　等價關系是集合A上的一個關系，并滿足自反性，對稱性和傳遞性.在教材[8]中，作者先給出關系的概念和一個關系(不是等價關系)的例子，再直接給出等價關系的概念.如果引入不當，學生比較難以接受等價關系這一概念.事實上，等價關系的例子在高等代數書中很多，可信手拈來.因此，可以提前布置學生去復習高等代數中的矩陣“合同”和“相似”等概念，看這些概念具有什么共性.在講述“等價關系”之前，先給出實數集R上的n×n階矩陣集合Mn(R)，并分別給出該集合上的“合同”和“相似”等關系，引導學生發現它們不僅是Mn(R)上的關系，并且都具有自反性、對稱性和傳遞性，然后自然地引出“等價關系”的概念.學生恍然大悟：原來等價關系并不陌生，在高等代數中已經接觸過.如果要進一步鞏固該內容，還可以引導學生分析Mn(R)上的矩陣秩相同關系，整數集Z上的模4同余關系等，讓學生自己發現來自于高等代數的某些例子也是等價關系.

　　3 群、環和域概念的處理

　　在教材[8]中，作者給出群的第一定義和第二定義，并證明了這兩個定義的等價性.課堂上先給出第一定義，并引導學生理解Ζ關于普通加法，非零整數集合關于普通乘法按照第一定義都是群，接著由第一定義推導出第二定義，由第二定義又推導出第三定義：一個非空集合G，對于其上的一個運算滿足封閉性，滿足結合律，存在一個單位元，每個元素都有逆元，則G關于該運算是群，由第三定義推導出第一定義，這樣即證明了三個定義的等價性，并將重點放在第三定義.有了第三定義后，提問：Mn(R)關于矩陣加法是群嗎?Mn(R)中的可逆矩陣集合關于矩陣乘法是群嗎?同時，讓學生翻閱教材[4]中關于矩陣加法和矩陣乘法的定義及性質，學生會發現：Mn(R)關于矩陣加法滿足封閉性與結合律，零矩陣是單位元，每個矩陣的逆元是其負矩陣，因此Mn(R)關于矩陣加法是群;Mn(R)中的可逆矩陣集合關于矩陣乘法也構成群.進一步，引導學生發現：矩陣加法滿足交換律，因此Mn(R)關于矩陣加法是交換群;而矩陣乘法不滿足交換律，因此Mn(R)中的可逆矩陣集合關于矩陣乘法不是交換群.接著，再告訴學生：高等代數中還有很多群的例子，請同學們把這些例子全部找出來.學生通過總結，找出了一元實系數多項式集合R[x]關于多項式加法是群、實數集R上的n維行(列)向量的全體關于向量加法構成群等.

　　可類似地處理環和域概念的講解與鞏固，這樣不僅促使學生去復習高等代數知識，讓學生深刻領悟到：群、環和域等概念是對高等代數中出現的數域、多項式、矩陣和線性空間等概念的進一步抽象概括，也讓學生逐漸意識到抽象代數并不是那么抽象，抽象代數的模型是現實中有例可循的，更增強了學生的學習興趣和學習積極性.

　　4 零因子

　　零因子對學生來說是個全新的概念，教材[8]中先給出了整數模n的剩余類環Zn的例子：當n是合數時，存在兩個不是零元的元素相乘卻是零元，接著給出了零因子的概念：在一個環里，a≠0， b≠0，但ab=0，則稱a是這個環的一個左零因子，b是一個右零因子，若一個元素既是左零因子又是右零因子，則稱其為零因子，最后還舉了一個比較抽象的例子和一個比較泛的矩陣環的例子.雖然Zn在抽象代數中經常出現，但是畢竟該環是通過模n取余運算構成的環，該運算跟學生以前學過的運算有很大的區別，對學生來說仍具有一定的抽象性，而書上列舉的矩陣環的例子只說該環有零因子，并沒有列舉具體的零因子.如果完全按教材的編排按部就班地講解，學生很容易忘記.這時，不妨引導學生回想：Mn(R)中兩個非零的矩陣相乘會是零矩陣嗎?大部分學生知道這是可能發生的，但是還有少數學生可能忘記相應的高等代數知識了，這時給出如下例子.

　　通過該例告訴學生A是環S的左零因子而B是環S的右零因子，這樣學生基本上知道零因子這個概念了.接著，再提問：“一個環上的左(右)零因子是零元嗎?一個環內的左零因子一定是右零因子嗎?一個環內的右零因子一定是左零因子嗎?”可繼續利用例1，讓學生在環S里面找個矩陣C使得BC=02×2，學生通過簡單的計算發現C必須為零矩陣，所以B是環S的右零因子但不是環S的左零因子，也就是說一個環內的右零因子并不一定是左零因子，反之，一個環內的左零因子并不一定是右零因子，再進一步強調一個環上的左(右)零因子一定不是零元. 　　通過例1的講解，學生對零因子已經不陌生了，這時采用啟發式教學，引導學生去解答：一個環里面哪些元可能是零因子，哪些元一定不是零因子.先給出如下例子.

　　例2 環Mn(R)中的可逆矩陣是零因子嗎?

　　學生通過計算發現，可逆矩陣不是環Mn(R)的零因子，好奇的學生自然會問：為什么會出現這種情況呢?不妨適時地提醒學生：可逆矩陣是環Mn(R)中具有逆元的元素，是不是只要有逆，這個元素就一定不可能是左(或右)零因子呢?一些學生可能還持懷疑態度，給出下面的結論：

　　結論1 設a在環R中有逆元a-1，則a一定不是環R的左(或右)零因子.

　　下面證明這個結論：設b∈R使得ab=0，則a-1ab=a-10=0b=0，則a不是環R的左零因子，同理a不是環R的右零因子.

　　通過前面的教學，學生對零因子這個概念已經有了深刻的理解，但還有可挖掘的內容，學生暫時想不到，但是只要一個提問，學生就能自己找到新的結論，所以進一步提問：下列陳述對嗎?

　　環內有左零因子環內有右零因子;

　　環內有右零因子環內一定有左零因子.

　　利用例2，還可以啟發學生發現零因子與消去律的關系，讓學生真正掌握零因子這一概念的內涵與外延.

　　5 環上的運算規律

　　在環上有兩種運算：一種稱為加法;另一種稱做乘法.當然這些加法和乘法并不一定是普通的加法和乘法，關于加法構成交換群，關于乘法滿足結合律和封閉性，這兩種運算通過分配律聯系起來.對應地，有一些環內的運算規律，這些運算規則繁多，學生一下子難以理解和消化，不妨采用列表的方式將環內的運算規律和Mn(R)上的矩陣運算規律加以比較，見表1.通過表1的比較，學生發現：環內的運算規律和Mn(R)上的矩陣運算規律類似，因為學生已經熟悉Mn(R)上的運算規律，學生可以利用表1的比較來加深對環內的運算法則的理解.

　　總之，高等代數為抽象代數提供了很多例子，作為一名教師，利用好這兩門課程之間的關系，架構從高等代數到抽象代數的橋梁，能夠幫助學生跨越從高等代數到抽象代數的鴻溝.

　　參考文獻：

　　[1] CHILDS L N. A concrete introduction to higher algebra(3rd Ed)[M]. Heidelberg： Springer， 2009.

　　[2] MICHAEL A. Algebra[M]. New York： Pearson Education， 2011.

　　[3] 王萼芳，石生明.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

　　[4] 北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組. 高等代數[M].3版. 北京：高等教育出版社， 2013.

　　[5] MCCOY N H， JANUSZ G J. Introduction to abstract algebra (7th Ed)[M]. New York： LLC Trust-worthy Communications， 2009.

　　[6] 胡冠章. 應用近世代數 [M]. 北京：清華大學出版社， 1999.

　　[7] 吳品三.近世代數 [M]. 北京：人民教育出版社，1982.

　　[8] 張禾瑞. 近世代數基礎(修訂本)[M]. 北京：高等教育出版社，2013.

　　[9] 李志慧. 高等代數研究問題的基本方法的教學實施[J]. 數學教育學報， 2013，22(2)：95-98.

　　[10] 任北上，劉立明，李碧榮. 問題型教學模式在高等代數教學中的探索[J]. 數學教育學報， 2013，22(2)：95-98.