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“幾何畫板”在數學中的使用
以下是小編整理的關于“幾何畫板”在數學中的使用的論文，希望對數學畢業的同學有所幫助!
摘 要：指數函數y=ax與對數函數y=logax(a>0且a≠1)互為反函數，它們的圖像關于直線y=x對稱，當底數a>1時，它們有無交點呢?當底數0在高中階段的教學過程中，對函數圖像的畫法要求并不是很高，多數函數圖像都只要求能作出簡圖就可以了，特別是求超越方程解的個數的時候，常轉化為求函數圖像交點的個數問題，只需畫出其大致圖像就可以解決。正因如此，我們就往往忽略了畫出的函數圖像要與實際大體相符，如果相差太遠，不但使我們得不到正確的結果，甚至會產生一些錯誤的認識，就像前面提出的問題一樣，如果我們認為底數a>1時，它們的圖像無交點，底數0。
關鍵詞：巧解;函數圖像;交點個數;幾何畫板
一、問題的出現
一天，一位學生問我：“指數函數y=ax(0)
二、探索之旅
1.尋找函數y=(1/16)x與y=log1/16x的圖像的交點
為了弄清楚這兩個函數的圖像究竟有多少個交點，我拿了一張A3紙，認真地去畫這兩個函數的圖像，但相交部分太靠近了，怎么才能使畫出的圖像與實際圖像相符呢?雖盡了最大努力畫好后，也完全看不出還有其他交點的情況，只好作罷。
后來在無意中發現，《幾何畫板》這個數學軟件，有強大的函數作圖能力，于是就想，是不是可以用它把兩個函數的圖像畫出來，不就清楚了嗎?趕緊打開《幾何畫板》，不一會便畫出了兩個函數的圖像。然而沒想到的是，它們的圖像畫出來也仍然如此，在中間一部分已基本重合在一起，究竟有多少個交點，完全看不清楚，又試圖把圖象放大一些，也無計于事。開始還以為是受分辨率影響，但后來已調到最佳狀態，也不能清楚地顯示出交點情況來。
是不是就沒有辦法呢?不甘示弱的我沉悶了半晌，又想出了一個怪招，即把兩個函數進行作差，構造成一個新的函數，即y=(1/16)x-log1/16x，畫出它的圖像。因為兩個函數圖像的交點個數就是這個新函數的根的個數，即新函數與x軸的交點個數，但圖像與x軸相交的那一部分，依然不能看清，再一次以失敗告終。
我又仔細地對圖像進行了觀察，心想這個新圖像應是有一部分在x軸上方，一部分在x軸的下方，才能說明它與x軸有交點，如果再把圖像的上下拉長，不就清楚了嗎?于是又在函數前加了一個系數10，即利用《幾何畫板》畫出了函數y=10[(1/16)x-log1/16x]的圖像，終于清楚了一點，再把系數換成100，即又畫出了函數y=100[(1/16)x-log1/16x]的圖像，則完全清楚了，臉上終于露出了笑容。它的圖像如右圖所示，盡管它的差值被放大了100倍，但它的兩個突起部分都僅有約1毫米高。
2.探索函數y=ax與y=logax(0 有了上面肯定的結論，我們便可以探尋這兩類函數交點的個數變化情況，首先，將函數y=ax-logax中底數a逐漸增大，就會看到圖像與x軸兩邊的交點逐漸向中間靠攏，直到a值約為0.065987時，即使圖像振幅放大到10萬倍，都不能看出是三個交點了，因此，此時的a值應是三個交點重合在一起的條件。如果將底數a值繼續增大但要小于1時，則只有一個交點的特征就越來越明顯，至此再無其他的交點。
如果將底數a值逐漸縮小，則圖像與x軸兩邊的交點逐漸向兩邊分開，左邊一個逐漸靠近坐標原點，另一個靠近點(1，0)，其差值也增大，是三個交點的特征越來越明顯。
再來觀察一下數值0.065987，它與(1/e)e (e為自然對數的底數，e≈2.71828…)的值非常接近，而當a取(1/e)e時，函數式變為y=e-ex+(1/e)lnx，此時函數與x軸的交點剛好為(1/e，0)，即方程(1/e)ex=-(1/e)lnx的解為1/e，所以這時兩函數只有一個交點，這個交點為(1/e，1/e)，正好在直線y=x上。
由此，可以得出函數y=ax與y=logax(0 3.探索函數y=ax與y=logax(a>1)的圖像的交點個數變化情況
當這兩個函數的底數都大于1時，是否它們的圖像就無交點呢?再次利用《幾何畫板》畫出函數y=2x-log2x它們的圖像，發現它與x軸并無交點，先把底數a的值縮小，如y=√2x-log√2x，它的圖像與x軸就出現了兩個交點，因此這兩個函數的圖像就應有兩個交點了，當再次縮小時，這兩個交點則更加明顯，然后就增大底數，當底數a的值約為1.44467時，函數出現了一個交點，而這個值與e1/e很接近，而當a=e1/e時，函數解析式化為y=ex/e-elnx，此函數與x軸的交點為(e，0)，即兩個函數圖像的交點為(e，e)，也恰好在直線y=x上，若再增大，則最多只有兩個交點。
由以上分析知，對于函數y=ax與y=logax(a>1)而言，當底數a∈(1，e1/e)時，它們的圖像有兩個交點;而當底數a=e1/e時，它們的圖像只有一個交點，當底數a∈(e1/e，+∞)時，它們的圖像無交點。
事實上，當底數a=1時，它們就是兩條直線y=1和x=1，也只有一個交點。
三、尋寶歸來
通過不懈地努力，終于把這兩個函數的圖像交點情況弄清楚，由以上各種情況綜合，即可詳細得出函數y=ax與y=logax圖像的交點個數條件，如下表：
四、收獲感言
經過這一次認真地去探索一個看似簡單的問題，使我感受到了解決一個科學問題的艱辛與快樂，其實生活中的許多事情也如此，看似簡單與平凡，只要你能認真地去思考和勇敢地去面對，任何問題都有解決的辦法，即使失敗，也應堅信真理的存在，只有堅持不懈的努力，才能讓你的靈感一次次地出現，只有付出更多的勞動，才能收獲成功的喜悅。
參考文獻：
[1]彭學軍，高曉玲.“幾何畫板”在數學教學中的應用研究[J].四川教育學院學報.2003年S1期
[2]姚淑華，李孝誠.幾何畫板在中學數學教學中應用模式的探討[J].電腦知識與技術.2008年30期
[3]符瑜.幾何畫板在中學數學教學中的應用研究[J].考試周刊.2008年16期
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