線性規劃考題

　　線性規劃考題【1】

　　摘 要：高中數學中線性規劃的教學和考查充分凸顯了代數和幾何的結合，在教學中應突出線性規劃問題的基本特征和解題規律. 本文選取了近年來相關的優秀試題進行針對剖析，從更高層次、更寬角度審視線性規劃的教學地位和思想方法.

　　關鍵詞：基本問題;平面區域;約束條件;目標函數;雙變量;轉化化歸

　　線性規劃的研究內容可歸納為兩個方面：一是系統的任務已定，如何合理籌劃，精細安排，用最少的資源(人力、物力和財力)去實現這個任務;二是資源的數量已定，如何合理利用、調配，使任務的完成數最多.

　　“線性規劃”在知識的整合、解題思路的拓展、方法的遷移等方面都有其鮮明的特點，有著豐富的思想內涵. 挖掘題中條件，不失時機地運用“線性規劃”的思想方法解題，將使我們觀察思考問題的立意更高，視野更加開闊.

　　“線性規劃”問題的教學現狀

　　在中學教材中，稱求目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題為線性規劃問題. “線性規劃”的教學分為三個層次：

　　(1)二元一次不等式表示的平面區域;

　　(2)二元一次不等式組表示的平面區域;

　　(3)線性目標函數在約束條件下的最值.

　　只含有兩個變量的簡單線性規劃問題可用圖解法來解決.

　　例如：設實數x，y滿足0≤x≤1，0≤y≤2，2y-x≥1，則z=2y-x+4的最大值是__________.

　　上述問題可轉化為一個平面區域與一條直線在有公共點的前提下，結合z的幾何意義來求解.

　　具體教學過程中，學生感覺有困難的部分是作圖環節，體現在速度慢，不夠準確. 如何準確有效地作出所需圖形，應給予學生充分的指導、訓練和體驗. 學生作圖時會出現過于細致的問題，如逐步描繪坐標系刻度;又或出現過于輕率的問題，連圖形的形狀和基本特征都無法抓住.這兩個問題都使解題的速度和準確性大打折扣.

　　當然，線性規劃是一個比較深入的課題，教材中也介紹了更多變量的線性規劃問題，可引導學生進一步學習.

　　線性規劃問題的考查特點與趨勢

　　1. 轉化成基本線性規劃問題

　　常規考題考查知識與技能，但還需要學生有一定的轉化和化歸意識，命題者會在行文敘述、符號變化、算式特征等方面設置一定障礙，需要解題者對得到的信息加工出熟悉的數學模型.

　　例1 (江蘇2013年9題)拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區域為D(包含三角形內部和邊界). 若點P(x，y)是區域D內的任意一點，則x+2y的取值范圍是__________.

　　分析：本題以拋物線的切線為背景，以文字敘述的方式提供了可行區域，題中曲線切線利用導數可得.

　　解決：求導得y′=2x，切線方程為y=2x-1 ，轉化為等價的基本問題：約束條件為x≥0，y≤0，y≥2x-1，目標函數z=x+2y. 作出圖形，易知z的取值范圍為-2，.

　　例2 設實數x，y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則的最大值是__________.

　　分析：如何將其化歸成基礎問題，找到未知問題和基本題之間的橋梁是破解的關鍵.

　　解法一：整體代換，令xy2=m，=n，

　　那么==，轉化為等價問題：約束條件為3≤m≤8，16≤N≤81.目標函數為z=，z幾何意義為對應區域內動點與坐標原點連線的斜率，易得最大值為27.

　　解法二：將除法轉變為和或差，題中代數式兩邊都取以2為底的對數，令log2x=A，log2B=y. 轉化為等價問題：約束條件為log23≤A+2B≤3，2≤2A-B≤2log23，目標函數為z=3A-4B，可行區域如圖，容易求得z的最大值為3log23，那么=2z的最大值是27.

　　圖2

　　點評：解法一采用了整體換元，解法二采用了取對數化積為和、化除為差，通過轉化和化歸轉化成已經解決過的基本問題.

　　2. 線性規劃問題的拓展延伸

　　(1)線性規劃問題中目標函數的拓展

　　熟悉線性規劃基本題還遠遠不夠，深刻把握它的數學特點和數學思想，在實際處理問題中將未知問題轉化為基本題才更重要. 那么該類問題的基本特點是什么，常見問題是什么?只有清楚這些，我們才能在實際處理過程中及時、敏銳地轉化問題，達到解決問題的目的.

　　以下提供最常見的基本類型;

　　約束條件：實數x，y滿足y≤x，y≥0，2x-y≤2，可行區域如圖3.

　　圖3

　　目標函數(1)：z=3x+y的最大值是__________，z的幾何意義即直線y=-3x+z的縱截距;

　　目標函數(2)：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區域內動點P(x，y)與點(-1，0)所連直線的斜率;

　　目標函數(3)：z=的最大值是__________，z的幾何意義即可行區域內動點P(x，y)與點(0，1)之間的距離.

　　與線性規劃相關的問題普遍具有一些基本特征，主要表現為已知條件是含“雙變量”的不等關系，目標任務為代數式的最值或取值范圍問題. 可解決的目標函數也不一定是線性代數式，可以為其他類型.常見的可以為乘積或比值形式、二次或根式形式，甚至可以用向量等給出的代數式. 也不一定拘泥于目標函數的最值問題，也可成為以可行區域為背景的面積、向量、概率等問題.

　　(2)線性規劃問題中約束條件的拓展

　　我們可以將它的數學思想拓展得更寬. 約束條件不一定要是線性約束條件，相應的平面區域也可以為直線、圓、曲線等構成的復合形態.

　　例如：實數x，y滿足x2+y2=1，則x+y的最大值是__________.

　　此題可行區域可認為是圓，可視為曲線圓與直線x+y=m有公共點. 由此看來，約束條件的給出有了更大的空間，線性規劃這個知識點也更容易滲透到其他數學知識點中. 　　例3 若a>0，b>0且+=1，則a+2b的最小值為__________.

　　分析：題目涉及兩個變量的等量關系，可以考慮減元處理，已由代數式整理得a=-b++1，結合基本不等式解決a+2b的最小值;也可以考慮其幾何意義，視作以b為自變量的函數，那么P(b，a)為函數圖象上的每一個點.

　　圖4

　　解決：a=-b++1，令z=a+2b，z表示此直線的縱截距.當直線與曲線相切時z最小，此時a′=-2.求導a′=-1-，所以b=，a=-++1=+，所以a+2b=+.

　　例4 (江蘇2012年14題)已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是__________.

　　分析：此題和基本問題的相似度極高，已知條件含有3個變量，而且目標函數為比值形式，有明確的幾何意義. 由代數式clnb≥a+clnc的邏輯計算知ln≥，由此得到轉化的突破口，可轉化為兩個變元.

　　圖5

　　解決：已知兩個不等式同除c得到5-3≤≤4-，ln≥.記=x，=y，

　　轉化為等價問題：

　　約束條件為x，y>0，5-3x≤y≤4-x，lny≥x?圳y≥ex，目標函數k==.

　　作出圖形，利用導數求出曲線y=ex過坐標原點的切線為y=ex，發現切點T(1，e)在可行區域內. 綜上，直線y=kx過C點時k最大，與曲線y=ex相切于點T時k最小. 所求取值范圍為[e，7].

　　圖6

　　點評：三變量的問題轉化為兩變量問題，該問題的解決具有一定的代表性.由已知代數式還可以考慮同除a或b進行轉化，不是每一個轉化都適合，但有些轉化又是相通和可行的，因此求解時需要一定的嘗試和觀察.

　　3. 線性規劃問題的知識遷移

　　有些數學問題并無明顯的線性規劃痕跡，卻也可以轉化成線性規劃的基本問題，比如解析幾何、函數、數列等含有多個變量的數學問題可采用線性規劃的方法來求解. 以下試題立足于課本，但高于課本，題目充分體現了命題教師的高瞻遠矚，而反過來又對高中的教學提出更高要求.

　　例5 (江蘇2011年14題)設集合A=(x，y)≤(x-2)2+y2≤m2，x，y∈R，B={(x，y)2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，則實數m的取值范圍是__________.

　　分析：兩集合為點集，交集非空.思考難度超越課本，類比線性規劃，將其轉化為兩個平面區域有公共點，同時本題的計算量大.

　　解決：集合A對應區域為D1，集合B對應區域為D2，D2容易認識為兩平行直線確定的帶狀區域. 由區域D1非空可知m2≥，求得m≤0或m≥.

　　(1)m=0區域D1收縮為一點，容易判斷不滿足要求;

　　(2)m≠0區域D1又分為兩種情況，當m<0時D1表示一個半徑為-m的圓，當m>0時表示兩個同心圓確定的環形區域.不論哪種情況，要滿足題意，只需要保證圓(x-2)2+y2=m2和直線x+y=2m或直線x+y=2m+1其中之一有公共點. 圓心到兩直線距離分別為d1和d2，且d1=，d2=. 所以d1≤r=m或d2≤r=m，容易解得m∈1-，2+，綜合以上分析，實數m的取值范圍是，2+.

　　點評：問題描述采用了幾何語言，解決思路和線性規劃有類似之處，同時解析幾何背景很強，充分考查了直線和圓的位置關系，而且分析時利用分類討論細化，處理時又不討論集中解決，思維跳躍度很大.

　　例6 已知a，b為常數，a≠0，函數f(x)=a+ex. 若f(2)<0，f(-2)　　分析：此題僅僅從表象上看到已知條件對變量a，b作了限制，與線性規劃知識點的相關性相當隱蔽. 該題目變量的關系相互依賴性較強，關鍵從已知條件合理的抽離出最有效約束條件.

　　圖7

　　解決：由f(2)<0，f(-2)0，b<0，2a+b<0，2a-b<2，4a+b≥0，點(a，b)形成的平面區域如圖7為△OAB，面積易得為.

　　點評：g(x)=ax2+bx-b≥0恒成立分析較難，考慮不等式成立的必要條件攻克了這個難點，根據代數式的依存關系得到約束條件，畫出圖形，所求面積視為兩個三角形面積差.

　　以上可以看出這些問題和教材中很多知識點綜合，都需要學生具備良好的知識遷移能力. 包括高考在內的眾多考題都或多或少地含有線性規劃知識或思想的若干部分，這樣的考題都具備一定的難度，成為命題的熱點題型，在考試中層出不窮.

　　教學感悟與思考

　　高中數學教學中，“數形結合”的思想方法，是最常見和最行之有效的思想方法. 線性規劃是高中數學教學中滲透“數學結合”思想的有效載體，可以和函數、數列、向量、解析幾何等知識交匯，形成一些讓人耳目一新、具有創意的題目和解法.

　　因此在教學時，切忌操之過急，作圖過程中要肯投入時間，要讓學生有體驗. 在解決問題時要注重學生知識的建構，建立在理解的基礎上傳授知識，滲透數學思想，不能變成灌輸式的教學. 否則，學生只能解決數學課本上的基本問題，不能完成知識的遷移.

　　線性規劃交匯題【2】

　　摘 要：線性規劃是數學規劃中理論較完整、方法較成熟、應用較廣泛的一個分支，線性規劃是直線方程的一個簡單應用，它與解析幾何、向量、不等式、概率可交匯進行綜合命題。

　　關鍵詞：線性規劃;幾何向量;交匯題

　　縱觀近些年的高考題，細細品味發現：重視在“知識的交匯處命題”是高考數學命題的一大特點，因為知識的交匯處既體現了知識的內在聯系，又能更好考查學生的數學綜合能力。本人結合自己的教學體會和2011年江西省各地模擬試題及全國各省高考題，對其中的線性規劃題作一簡單歸納。

　　1、線性規劃與解析幾何交匯

　　例1：(江西省南昌市2011屆高三第三次聯考)已知x，y滿足不等式組 ，則 的最小值為( )

　　A. B. 2 C. 3 D.

　　分析與簡解：

　　欲求最小值的式子可化為 ，即表示區域內動點(x，y)與定點(-1，1)的距離的平方，故畫出線性約束條件下不等式組所表示的平面區域，如上圖，易知問題可轉化為求點(-1，1)到直線y=x的距離的平方，易算得2，故選B。

　　歸納：線性規劃能很好地把數與形結合起來，故它與解析幾何交匯很自然，此類題首先要準確畫出不等式組表示的平面區域，即完成由數到形的轉化，然后根據式子的幾何意義，直觀觀察求得相關結論。

　　(1)(江西省吉安市2011年高三期末聯考卷)若點P在區域 內，則點P到直線 距離的最大值為______

　　(2)(江西省上饒市重點中學2011屆高三聯考)設 ，若實數x，y滿足條件 ，則 的最大值是_______。

　　(3)(江西省2011屆高三九校聯考)設x，y滿足約束條件 ，則 的取值范圍是( )

　　A. B.

　　C. ( ) D.

　　2.線性規劃與函數，方程交匯

　　例2：(江西省八所重點中學2011年高三聯考)已知函數f(x)的定義域為 ，且f(6)=2，f/(x)為f(x)的導函數，f/(x)的圖象如上圖所示，若正數a，b滿足f(2a+b)<2，則 的取值范圍是( )

　　A. B.

　　C. D.

　　分析與簡解：

　　由導函數圖象知， ，f(x)遞增，故由f 可知： ，作出可行域△ABO內部，如上圖所示，易知 表示區域內點(a，b)與定點P(2，-3)連線的斜率，易求得 ，故選A。

　　例3：(江西省新余一中2011屆高三六模)已知函數 的一個零點為x=1，另外兩個零點可分別作為一個橢圓和一個雙曲線的離心率，則 取值范圍是__________.

　　分析與簡解：

　　依題意函數的三個零點即方程 的三根，且 ，故方程可等價為 有兩不等根，一根在(0，1)上，另一根在(1，+∞)上，即 ，作出可行域，易求得直線a+b+1=0與2a+b+3=0的交點A為(-2，1)，故可求得 ，故 的范圍應為 .

　　3.線性規劃與概率交匯

　　例4：(江西贛州市2011年高三摸底考試)在平面xOy內，向圖形 內投點，則點落在由不等式組 所確定的平面區域的概率為________.

　　分析與簡解：

　　記事件A為點落在由不等組確定的區域內，作出該區域，如上圖所示，易求得其面積為 ，另外試驗的全部結果所構成的區域面積應為圓 的面積，應求得為4π，故 .

　　歸納：涉及到幾何概型中的面積比常用到平面區域面積。又如

　　(1)(江西省九江市2011屆高三七校聯考)已知點P(x，y)在約束條件 所圍成的平面區域上，則點P(x，y)滿足不等式 的概率是________.

　　(2)(江西省吉安市2011屆高三一模)已知函數 ，實數a，b滿足 ，則函數 在[1，2]上為減函數的概率是( )

　　A B C D

　　4.線性規劃與向量交匯

　　例5：(2011福建理科)已知O是坐標原點，點A(—1，1)，若點M(x，y)為平面區域上的一個動點，則 的取值范圍是( )

　　A.[-1，0] B.[0，1]

　　C.[0，2] D.[-1，2]

　　分析與簡解：

　　準確做出不等式組所表示的平面區域，如上圖所示陰影區域：

　　由 表示 在 方向上的投影與 的模的積，觀察易得點M分別在點B，D處使 取得最小值0，最大值2，故選C.

　　在2011年高考及各地模擬卷中，向量與線性規劃交匯的題還有：

　　(1)(2011廣東理)已知平面直角坐標系xOy上的區域D，由不等式組 給定，若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為 ，則 的最大值為( )

　　A.3 B.4 C. D.

　　(2)(江西省重點中學協作體2011屆高三第二次聯考)已知點P(x，y)滿足條件 ，點A(2，1)，則 的最大值為( )

　　A. B. C . D. 2

　　參考答案：(1)4 (2)5 (3)D(1) (2)B(1)B (2)D

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