微分概念教學(xué)課堂設(shè)計(jì)

　　微分概念教學(xué)課堂設(shè)計(jì)論文范文，可以作為參考哦。

　　微分概念教學(xué)課堂設(shè)計(jì)【1】

　　摘要：通過創(chuàng)設(shè)實(shí)例情境，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣;通過反例教學(xué)，加深學(xué)生對概念的理解;運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)，通過類比和化歸，建立導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系;通過精講多練，鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)。

　　關(guān)鍵詞：微分;概念;教學(xué)

　　微分概念是教學(xué)的重點(diǎn)，更是難點(diǎn)。

　　以前在教學(xué)中，這一塊知識(shí)的傳授一直是令人頭疼的地方，感覺已經(jīng)盡了很大的努力，學(xué)生還是不能理解，即使表面會(huì)了，可以到應(yīng)用還是不行，而且所學(xué)知識(shí)很快又忘了。

　　這說明他們最開始還是沒掌握好，沒理解透，概念沒有真正建立起來。

　　筆者重新對微分概念進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)后，取得了較好的效果。

　　1新課引入

　　一般的課堂導(dǎo)入是這樣的：在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，常常會(huì)遇到這樣的問題：當(dāng)自變量x有微小變化時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的微小改變量Δy=f(x+Δx)-f(x)。

　　這個(gè)問題初看起來似乎只要做減法運(yùn)算就可以了。

　　然而，對于較復(fù)雜的函數(shù)f(x)，差值f(x+Δx)-f(x)卻是一個(gè)更復(fù)雜的表達(dá)式，不易求出其值。

　　一個(gè)想法是：設(shè)法將Δy表示成Δx的線性函數(shù)，即線性化，從而把復(fù)雜問題化為簡單問題。

　　可是這種導(dǎo)入，學(xué)生往往不感興趣，難以進(jìn)入狀態(tài)。

　　既然微分是實(shí)現(xiàn)增量線性化的一種數(shù)學(xué)模型，即微分函數(shù)的實(shí)質(zhì)：局部像條直線。

　　那么怎么讓學(xué)生直觀地感受到這一點(diǎn)呢?

　　我先是提問學(xué)生：地球是什么形狀的?學(xué)生都感到好笑：地球當(dāng)然是圓的。

　　這時(shí)我又提出個(gè)問題：那么古時(shí)候的人們?yōu)槭裁匆詾榈厍蚴莻�(gè)大平面?學(xué)生七嘴八舌地說：那時(shí)科學(xué)不發(fā)達(dá)，在他們眼睛看到的范圍內(nèi)，地球看起來就是個(gè)大平面。

　　這時(shí)候我覺得時(shí)機(jī)到了，就跟學(xué)生說，其實(shí)曲線的增量很小(或相對很小時(shí))，例如在人眼所能看到的范圍內(nèi)，這個(gè)距離增量相對于地球而言是非常小的，此時(shí)曲線可以近似的看作切線，這就是微分的幾何本質(zhì)，所以古時(shí)候的人們單憑自己的肉眼就犯了錯(cuò)誤。

　　通過實(shí)例來引入課題，為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，加強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

　　2新課講授

　　2.1微分的定義

　　(1)概念引入。

　　在這部分教學(xué)中，適當(dāng)?shù)貙ふ一蛘邩?gòu)造一些反例，能更好地理解概念本身的內(nèi)涵和外延。

　　可以舉一個(gè)微分不存在的例子加深學(xué)生對定義的理解。

　　2.2函數(shù)可微的條件

　　微分定義較為抽象，為了深刻理解其含義，我提出幾個(gè)問題讓學(xué)生思考并回答：(1)什么樣的函數(shù)是可微的?(2)什么是函數(shù)的微分?(3)A和什么有關(guān)呢?

　　讓學(xué)生觀察引例，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)了“秘密”：A=f′(x0)。

　　這時(shí)，要適時(shí)地將導(dǎo)數(shù)與微分概念聯(lián)系起來對比和分析：(1)若函數(shù)可微，那么函數(shù)是否可導(dǎo)?(2)若函數(shù)可導(dǎo)，那么函數(shù)是否可微?通過這兩個(gè)問題的解答結(jié)果，從而得到函數(shù)可微的充分必要條件以及函數(shù)的微分公式。

　　進(jìn)而得到微分公式：dy=f′(x)dx，上式變形為dydx=f′(x)。

　　即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商，因此，導(dǎo)數(shù)又稱為“微商”。

　　在這部分教學(xué)中，把導(dǎo)數(shù)作為“微商”重新理解了一下復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t和反函數(shù)求導(dǎo)法則。

　　為了加深學(xué)生印象，我講了一個(gè)笑話：說有一個(gè)學(xué)生抄襲別人的作業(yè)，但后來卻自以為聰明地把dydx中的d約掉了。

　　2.3微分的幾何意義

　　以前的這塊教學(xué)中，我只是簡單地介紹dy所在位置和大小，而沒有從圖形和數(shù)值上突出局部線性化含義。

　　現(xiàn)在借助多媒體進(jìn)行圖形演示，用flash把圖像放大，通過不斷的移動(dòng)x的位置，讓學(xué)生觀察曲線和切線關(guān)系。

　　學(xué)生通過自己的觀察得出：x離x0的距離越小，曲線越可近似地看作一條直線，同時(shí)也解決了我們在引入新課時(shí)所提出的問題。

　　2.4基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則

　　牢牢抓住微分和導(dǎo)數(shù)關(guān)系dy=f′(x)dx，進(jìn)行對比教學(xué)即可。

　　2.5微分形式不變性

　　無論u是自變量還是復(fù)合函數(shù)的中間變量，函數(shù)y=f(u)的微分形式總是可以按微分定義的形式來寫，即有dy=f′(u)du這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性。

　　利用這一特性，可以簡化微分的有關(guān)運(yùn)算。

　　但微分形式不變性是教學(xué)的難點(diǎn)，教師可以總結(jié)一句話讓學(xué)生牢記：“函數(shù)對哪個(gè)變量求導(dǎo)就乘以哪個(gè)變量的微分”。

　　2.6利用微分進(jìn)行近似計(jì)算

　　利用微分作近似計(jì)算，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用微積分知識(shí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，也使部分達(dá)不到較高教學(xué)要求的、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，對基礎(chǔ)性內(nèi)容有所了解，不至于什么都學(xué)不到。

　　3例題選講

　　3.1微分的定義內(nèi)容選講了兩道例題

　　例1. 求函數(shù)y=x2當(dāng)x由1改變到1.01的微分。

　　例2. 求函數(shù)y=x3在x=2處的微分。

　　3.2基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則的應(yīng)用內(nèi)容選講了兩道例題

　　例3. 求函數(shù)y=x3e2x的微分。

　　例4. 求函數(shù)y=sinxx的微分。

　　3.3微分形式的不變性內(nèi)容選講了二道例題

　　例5. 在d()=cosωtdt;的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立。

　　3.4微分近似計(jì)算和線性化內(nèi)容選講了三道例題

　　例6. 求f(x)=1+x在x=0與x=3處的線性化。

　　注：通過這道題使學(xué)生進(jìn)一步明確不同點(diǎn)的近似直線不同。

　　例7. 半徑10厘米的金屬圓片加熱后，半徑伸長了005厘米，問面積近似增大了多少?

　　例8. 計(jì)算e-0.03的近似值。

　　有些例題由學(xué)生獨(dú)立完成后，再由教師做點(diǎn)評。

　　例題設(shè)置由易到難，具有層次性，便于學(xué)生解題能力的提升。

　　通過例題可以檢測學(xué)生對知識(shí)的掌握情況，找到差距，更進(jìn)一步鞏固和深化新知，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重在應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣。

　　4歸納總結(jié)、分層作業(yè)

　　引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)到概念、方法、定理和公式，鍛煉學(xué)生的歸納概括能力，有利于學(xué)生理清思路，從整體上把握內(nèi)容，抓住要點(diǎn)。

　　布置的作業(yè)分鞏固題、思考題和提高題三種類型，以適用不同層次學(xué)生的需要，從而分類推進(jìn)，促進(jìn)學(xué)生的共同發(fā)展，同時(shí)也要考慮到為學(xué)習(xí)下節(jié)課的內(nèi)容做好鋪墊。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1]吳贛昌.微積分[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

　　[2]李令斗，高等數(shù)學(xué)中微分概念的說課[J].教育教學(xué)論壇，2012，(07).

　　偏微分方程課堂實(shí)踐教學(xué)應(yīng)用【2】

　　摘要：加強(qiáng)理論與實(shí)踐的融合，特別是在偏微分方程數(shù)值解課程教學(xué)中，通過引入實(shí)踐教學(xué)，突出高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，使之能夠與具體的學(xué)科生產(chǎn)實(shí)際相聯(lián)系，既有助于提升學(xué)生對偏微分方程的理解，還能夠從科研、工程應(yīng)用前沿中來增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣，提升高等數(shù)學(xué)在實(shí)踐生活中的應(yīng)用能力。

　　關(guān)鍵詞：偏微分方程;實(shí)踐性教學(xué);應(yīng)用探討

　　數(shù)學(xué)知識(shí)是豐富的、數(shù)學(xué)思想是多彩的，數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系知識(shí)與能力的紐帶，是數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)思想。

　　而對于數(shù)學(xué)概念的實(shí)踐性教學(xué)，將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界建立關(guān)聯(lián)，是推進(jìn)大學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐的有效途徑。

　　數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)，其理論的產(chǎn)生是基于數(shù)學(xué)自身理論系統(tǒng)的發(fā)展。

　　如數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用實(shí)踐，將數(shù)學(xué)理論知識(shí)與具體的行業(yè)科學(xué)建立緊密聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)建模在學(xué)科專業(yè)性和應(yīng)用廣泛性中的作用，以解決現(xiàn)實(shí)問題。

　　偏微分方程是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在課程教學(xué)中具有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用前景。

　　現(xiàn)代自然科學(xué)領(lǐng)域中的很多工程實(shí)踐問題，其解決方法都由數(shù)學(xué)建模來進(jìn)行描述，而偏微分方程的求解方法則具有廣泛的應(yīng)用。

　　本文則是通過對偏微分方程的一些闡述來講解偏微分方程在課堂實(shí)踐中的教學(xué)應(yīng)用.

　　一、高等數(shù)學(xué)實(shí)踐性教學(xué)的現(xiàn)狀

　　強(qiáng)調(diào)理論與實(shí)踐的滲透一直是高等數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐性教學(xué)的主要方向，由于教學(xué)環(huán)境的局限，對于課程實(shí)踐性內(nèi)容的梳理多存在制約，尤其是理論講解過多，而實(shí)踐教學(xué)相對不足，導(dǎo)致學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的論證感到繁瑣而枯燥。

　　偏微分方程數(shù)值解由于涉及較多的公式推導(dǎo)，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不夠，而對于理工類學(xué)科專業(yè)，偏微分方程在實(shí)踐應(yīng)用中具有普遍性。

　　因此，要從實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)入手，積極探索該課程與生產(chǎn)實(shí)踐的關(guān)聯(lián)度，加強(qiáng)對偏微分方程與實(shí)際應(yīng)用的銜接，特別是實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)的明確，要從學(xué)科前沿發(fā)展上，融入實(shí)際案例和問題，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)推導(dǎo)中提升計(jì)算能力，增強(qiáng)科學(xué)思維能力，解決實(shí)際問題能力。

　　二、實(shí)踐性教學(xué)的必要性研究

　　從國家對高等教育改革工作的發(fā)展綱要來看，堅(jiān)持教育與現(xiàn)代社會(huì)生產(chǎn)的聯(lián)系，特別是從人才培養(yǎng)模式上，著力從教學(xué)方法上來深化改革，強(qiáng)調(diào)知行合一，因地制宜的調(diào)整和優(yōu)化課程實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，突出學(xué)科理論學(xué)習(xí)與實(shí)踐課程的融合，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐技能。

　　理工類專業(yè)群在高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)上，要結(jié)合自身專業(yè)設(shè)置實(shí)際，從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與學(xué)科專業(yè)方向上，既要關(guān)注數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的講授，還要從學(xué)生數(shù)學(xué)思維、計(jì)算思維、計(jì)算方法等方面，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)與工程應(yīng)用的聯(lián)系，特別是實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，要注重對各種數(shù)值方法的求解，訓(xùn)練學(xué)生能夠從具體方法求解中來培養(yǎng)動(dòng)手能力。

　　偏微分方程具有較強(qiáng)的理論性，對于理論知識(shí)的講授，特別是穩(wěn)定性分析、收斂性分析、誤差估值分析等，涉及較多的公式推導(dǎo)，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性差，通過對實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置，使之具有形象性、直觀性和動(dòng)態(tài)性，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的能力。

　　三、偏微分方程與實(shí)踐性教學(xué)的應(yīng)用探討

　　1.注重偏微分方程與實(shí)際應(yīng)用的銜接

　　從課程內(nèi)容來看，偏微分方程在與生產(chǎn)實(shí)踐聯(lián)系上具有廣泛性，但對于具體的數(shù)值求解方法來說，因介紹較少，而學(xué)生對知識(shí)背景認(rèn)知不夠。

　　如對于線性常系數(shù)偏微分方程，在探討其穩(wěn)定性方面，由于，利用差商法來替換微商法，其中心格式的穩(wěn)定性仍然不夠。

　　但可以將之改寫為中心差分格式，由此來得到Lax-Friedrichs穩(wěn)定性數(shù)值方程;從中可知，利用，可以實(shí)現(xiàn)偏微分方程的數(shù)值求解穩(wěn)定性，同時(shí)對于雙曲型方程也具有較高的計(jì)算準(zhǔn)確性，便于將偏微分方程數(shù)學(xué)理論與生產(chǎn)實(shí)踐相聯(lián)系。

　　同樣道理，在共軛方程求解中，對于，在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用較廣，作為二階共軛方程，將表示為溫度函數(shù)，表示為熱傳導(dǎo)系數(shù)，可以對熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行改寫。

　　從上述推導(dǎo)變換中，盡管數(shù)學(xué)公式本身沒有變化，但與物理問題相融合后，其意義更加廣泛。

　　我們知道，從熱傳導(dǎo)過程來看，對于傳導(dǎo)系數(shù)來說本身具有連續(xù)性，利用函數(shù)來表示更加準(zhǔn)確，從熱傳導(dǎo)守恒性來看，以離散值求解方法來計(jì)算結(jié)果，與實(shí)際問題存在不符，但通過進(jìn)行離散處理，可以獲得。

　　從中可知，學(xué)生在認(rèn)識(shí)偏微分方程的求解疑難時(shí)，借助于對實(shí)際生產(chǎn)的背景介紹，從中來理解數(shù)學(xué)理論知識(shí)在實(shí)踐中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，也提升了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力。

　　2.強(qiáng)調(diào)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的課時(shí)比重

　　在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，由于計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，可以利用偏微分方程來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)偏微分方程在生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用。

　　從數(shù)學(xué)理論來看，偏微分方程本身實(shí)踐性強(qiáng)，而在實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)中的課時(shí)比例相對不足，特別是學(xué)生上機(jī)學(xué)習(xí)較少，影響學(xué)生對偏微分方程數(shù)值求解方法的掌握。

　　以信息技術(shù)專業(yè)為例，在偏微分方程數(shù)值計(jì)算訓(xùn)練上，可以從Fortran95數(shù)值教學(xué)平臺(tái)上來開放應(yīng)用程序，結(jié)合不同的邊界條件和初值，讓學(xué)生從具體算法上來進(jìn)行上機(jī)調(diào)試，分析存在的問題，并從實(shí)驗(yàn)報(bào)告分析中來強(qiáng)調(diào)知識(shí)的實(shí)踐性。

　　借助于數(shù)學(xué)軟件教學(xué)，其目標(biāo)在于：一是提升數(shù)學(xué)理論知識(shí)的可視性，特別是對于偏微分方程自身公式的推導(dǎo)來說，因繁瑣而影響學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而直觀的數(shù)值計(jì)算軟件的應(yīng)用，提升計(jì)算結(jié)果的直觀性。

　　二是從偏微分方程數(shù)值求解方法的多樣性來看，既可以從差分方法中來選擇不同的邊界條件和初值，還可以從不同的初值和邊界條件中來選擇差分方法，不同的運(yùn)算結(jié)果具有相應(yīng)的規(guī)律性。

　　如對于擴(kuò)散方程，與之相關(guān)的邊界條件主要有、、。

　　對于該式中的不同變量的取值問題，可以從顯格式、隱格式及其他格式上來進(jìn)行運(yùn)算，比較其結(jié)果，學(xué)生可以從中來探討和分析偏微分?jǐn)U散方程的收斂性、穩(wěn)定性，以及截?cái)嗾`差變化;同時(shí)，可以根據(jù)調(diào)整不同變量的范圍，如步長等，來對比差分格式中的誤差控制;對于Richardson格式，雖精度高但實(shí)用性不強(qiáng)，不同格式的穩(wěn)定性分析是其應(yīng)用的基本前提。

　　三是從學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐中來增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力。

　　由于偏微分方程在數(shù)值求解上面臨較多的實(shí)際問題，特別是在實(shí)踐性環(huán)節(jié)設(shè)置中，針對常見的步長問題、網(wǎng)格點(diǎn)問題，以及不同求解方法的誤差等問題，需要在教師的指導(dǎo)下來進(jìn)行綜合對比和分析，提升數(shù)學(xué)模型對生產(chǎn)實(shí)踐的影響。

　　另外，從不同方法的求解合理性分析上，利用檢驗(yàn)方法來促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成。

　　3.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理論與科研前沿問題的融合

　　從偏微分方程數(shù)值求解教學(xué)內(nèi)容來看，僅僅介紹相關(guān)的數(shù)值求解方法是不夠的，還要從偏微分方程自身的理論價(jià)值，來闡釋與生產(chǎn)實(shí)踐的融合，特別是現(xiàn)代技術(shù)背景下，對于數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的研究，需要從科研前沿探討中，比較不同解決方法的差異性和適用性。

　　對于生產(chǎn)實(shí)踐中的不同問題，教師在課程知識(shí)選擇及具體方法的探討中，要適當(dāng)滲透前沿課題及主流方法，圍繞學(xué)生學(xué)科實(shí)際，收集相關(guān)科研素材和資料，讓學(xué)生能夠從中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的科研精神、數(shù)學(xué)思維。

　　教師在構(gòu)建實(shí)踐性教學(xué)課堂時(shí)，可以從數(shù)學(xué)模型的抽象與分析中，介入數(shù)學(xué)軟件來構(gòu)建實(shí)際問題，通過對偏微分方程不同求解方法的對比分析，來探討其解決實(shí)際問題的能力。

　　如對于有限元法的講解，與實(shí)際生產(chǎn)相聯(lián)系，來分析該方法的優(yōu)勢，并滲透Matlab軟件，來構(gòu)建具體的應(yīng)用環(huán)境，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)理論與生產(chǎn)實(shí)際的融合。

　　四、結(jié)語

　　與傳統(tǒng)大學(xué)數(shù)學(xué)教育相比，利用實(shí)踐性課堂教學(xué)不僅有助于激發(fā)大學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情，還能從數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定義、數(shù)學(xué)邏輯推演及計(jì)算中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，開拓大學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

　　正如李大潛院士所講“數(shù)學(xué)思想有助于從追求數(shù)學(xué)體系的完善上來達(dá)到數(shù)學(xué)邏輯與數(shù)學(xué)應(yīng)用的嚴(yán)謹(jǐn)性，從而將數(shù)學(xué)構(gòu)建成新的應(yīng)用空間”。

　　通過對偏微分方程數(shù)值解的實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)的探析，來加強(qiáng)理論與實(shí)踐的融合滲透，從不同行業(yè)來發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生能夠從中啟發(fā)創(chuàng)新精神。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]龔雅玲.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教材中的滲透[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2015(03)：105-107.

　　[2]逄世友，苗連英.以本原問題驅(qū)動(dòng)高等數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)模式改革[J].教育現(xiàn)代化.2015(12)：91-94.

　　[3]李小斌，柴華岳，劉三陽.二階線性微分方程可解的條件[J].高等數(shù)學(xué)研究.2015(04)：48-51.

　　[4]苗連英.高等數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)模式改革[J].商情.2014(12)：90-91.

　　數(shù)學(xué)分析中微分概念探究教學(xué)的實(shí)踐與思考【3】

　　摘要：《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)應(yīng)打破傳統(tǒng)教學(xué)模式，積極開展自主、合作和探究式教學(xué).微分概念探究教學(xué)應(yīng)從概念的形成、概念的理解與鞏固、學(xué)生認(rèn)知水平三個(gè)角度開展.通過實(shí)踐分析和總結(jié)得到：數(shù)學(xué)分析課程探究式課堂教學(xué)要重視良好課堂氛圍的營造，探究活動(dòng)核心環(huán)節(jié)的掌控以及學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展三個(gè)環(huán)節(jié)，循序漸進(jìn)地開展科學(xué)合理有效的課堂探究教學(xué)活動(dòng).

　　關(guān)鍵詞：微分;探究教學(xué);情境問題;認(rèn)知水平

　　一、引言

　　目前，很多從事高校數(shù)學(xué)課程教學(xué)的教育工作者，仍然采用教師教，學(xué)生學(xué);教師講，學(xué)生聽的傳統(tǒng)教學(xué)模式，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)習(xí)興趣逐漸喪失，因此，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和創(chuàng)造性思維能力.2015年國務(wù)院辦公廳關(guān)于深化高等學(xué)校創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育改革的實(shí)施意見中指出：“高校課程教學(xué)和考核方式要開展啟發(fā)式、討論式、參與式教學(xué)，……，注重考查學(xué)生分析、解決問題的能力.”

　　針對這一要求，高校數(shù)學(xué)教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)課程自身特點(diǎn)積極開展探究式教學(xué)改革.

　　近年來，有關(guān)數(shù)學(xué)探究教學(xué)的研究主要集中在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域[1-4]，然而高校數(shù)學(xué)探究教學(xué)的研究比較少，針對這一現(xiàn)狀，本文以高師《數(shù)學(xué)分析》課程中微分概念探究教學(xué)為例，提出《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)應(yīng)積極開展自主、合作、探究的有效教學(xué)模式，為學(xué)生提供更多主動(dòng)參與、合作交流、探究發(fā)現(xiàn)的教學(xué)活動(dòng)，從而促進(jìn)學(xué)生主體學(xué)習(xí)意識(shí)和能力的培養(yǎng).

　　二、微分概念的教學(xué)探究實(shí)踐與分析

　　Klausmeier指出概念是簡化世界的類目，是將一系列物體、事件和思想進(jìn)行分類的心智結(jié)構(gòu).概念是重要的，概念反應(yīng)思想，但概念并不出思想，不是通過概念的變換產(chǎn)生思想的，相反，思想產(chǎn)生概念.[5]事實(shí)上，人類社會(huì)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)概念都是在人類社會(huì)歷史發(fā)展的過程中，隨著勞動(dòng)實(shí)踐和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的積累，在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上形成的.[6]

　　因此，教師在微分概念教學(xué)過程中，應(yīng)從微分概念知識(shí)起源中尋找切入點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，創(chuàng)設(shè)合理情景，引導(dǎo)學(xué)生從具體事例抽象出微分的實(shí)質(zhì)，自主構(gòu)建微分概念，并感悟概念形成中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，逐步培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)概括能力.

　　1.注重學(xué)生從具體到抽象的思維能力的培養(yǎng)，體會(huì)概念形成過程.微分概念比較抽象，若教師直接引入，學(xué)生很難理解與接受，故可以結(jié)合微分在實(shí)際的生產(chǎn)生活領(lǐng)域中的應(yīng)用來引入微分概念.在實(shí)際生活中，往往需要根據(jù)測量值來近似計(jì)算某些物理量，故教師可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)情境引入課題.

　　教學(xué)片段1：教師拿出三個(gè)正方形紙板如下圖1所示，展示三個(gè)正方形紙板的面積的變化情況，并提出如下問題：

　　問題一：觀察三個(gè)圖形中面積增量主要取決于哪一部分?

　　問題二：思考當(dāng)邊長增量Δx→0時(shí)，ΔS，200Δx，(Δx)三者存在著怎樣的關(guān)系?

　　設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)態(tài)圖形演示，創(chuàng)造教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察面積的變化規(guī)律，形成感官上的一種具體認(rèn)知和判斷.然后通過設(shè)置問題引導(dǎo)學(xué)生朝著預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)方向進(jìn)行思考，并檢測不同層次的學(xué)生對問題的分析理解能力.

　　學(xué)生在討論后給出答案：當(dāng)邊長增量Δx→0，故有

　　顯然，學(xué)生能夠利用已學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念來分析問題，但是對問題的理解缺乏方向性，沒有刻畫ΔS，200Δx，(Δx)三者關(guān)系，此時(shí)教師可以做進(jìn)一步補(bǔ)充：

　　說明邊長增量越來越小時(shí)，面積增量的實(shí)際值主要決定于兩個(gè)小長方形的面積.再借助高階無窮小量可知

　　ΔS=200Δx+ο(Δx)

　　從而使得微分概念的雛形自然而現(xiàn).進(jìn)而針對一般函數(shù)f(x)，給出微分的一般定義形式

　　其中ο(Δx)是Δx的高階無窮小量.

　　教學(xué)分析：好的教學(xué)情境的引入，往往能營造良好的教學(xué)氛圍，提升學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的積極性和主動(dòng)性.但是在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生的初步認(rèn)知往往是具體的，并且是不完整的，甚至是錯(cuò)誤的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多思考如下問題：我的理解方式與已有的概念是否存在聯(lián)系?

　　解決問題的關(guān)鍵在哪里?結(jié)論是否具有推廣性?若不能推廣，是否可通過修改條件實(shí)現(xiàn)結(jié)論的推廣?等等.學(xué)生在反思過程中，會(huì)對已有的認(rèn)知和理解進(jìn)行深入思考，從而使得自己對數(shù)學(xué)知識(shí)的體驗(yàn)不斷得以釋放，思維能力不斷提升，并逐步達(dá)到抽象思維的認(rèn)知水平.

　　2.注重學(xué)生對概念深化理解，通過變練演編等方式鞏固概念.王光明博士認(rèn)為：

　　理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，“懂而不會(huì)的”現(xiàn)象說明學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)并未達(dá)到真正的理解[7].因此，當(dāng)微分概念給出后，并不代表著學(xué)生能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)和理解概念，它需要教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從不同的側(cè)面和角度去挖掘概念，解釋概念，深化學(xué)生對概念的理解.

　　教學(xué)分析：本題的解題過程充分展現(xiàn)用定義法驗(yàn)證函數(shù)在某點(diǎn)可微需要一定的技巧和方法，并非易事.因此，教師在對微分概念講解時(shí)要循序漸進(jìn)，對問題的探究思路和角度要多元化，對教材例題要進(jìn)行剖析和演編，同時(shí)還要給學(xué)生一些與例題類似或演編的題目進(jìn)行訓(xùn)練，這樣可以進(jìn)一步加深學(xué)生對微分概念的理解.

　　3.在概念教學(xué)中逐步提升學(xué)生的認(rèn)知水平，幫助學(xué)生建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).教師對例題進(jìn)行總結(jié)和歸納是加深學(xué)生對概念理解的一種有效方法，同時(shí)也是促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題或新規(guī)律的一個(gè)有效途徑.著名教育家波利亞在其著作《數(shù)學(xué)與猜想》中寫道：

　　“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程是與任何其他知識(shí)的創(chuàng)造一樣的.在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你先得推測證明的思路.”[8]所以在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生對已有結(jié)論進(jìn)行反思、歸納和論證，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平逐步提高，并在原有的認(rèn)知水平上建立起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

　　教學(xué)片段3：教師請學(xué)生觀察分析上述例題中給出的微分表達(dá)式的特征有哪些，并猜想在具備同樣條件下的一般函數(shù)f(x)是否也有類似結(jié)論成立，若成立嘗試證明你的結(jié)論.

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力，合情推理和歸納證明的能力等，通過對這些能力的培養(yǎng)，不斷提升學(xué)生的認(rèn)知水平，幫助學(xué)生建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

　　學(xué)生通過相互討論給出答案：(1)微分都是一個(gè)常數(shù)與自變量增量的乘積的結(jié)構(gòu)模型;(2)算例表明常數(shù)恰巧是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值;(3)由導(dǎo)數(shù)定義形式可推知

　　-f′(x)=ο(1)?圯Δy=f′(x)Δx+ο(Δx)，

　　表明函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)一定可以推出f(x)在點(diǎn)x=x可微.

　　在了解學(xué)生的認(rèn)知情況后，教師可以對學(xué)生給出的答案做進(jìn)一步補(bǔ)充說明：一元函數(shù)可導(dǎo)一定可微，反之，可微也一定可導(dǎo)，證明如下

　　顯然根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知A=f′(x).至此，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生對上述討論內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，同時(shí)也找到了判斷函數(shù)在某點(diǎn)是否可微的另外一種重要方法，此方法比微分定義法更容易證明.

　　教學(xué)分析：在課堂教學(xué)中，教師通過精心設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行演練、搜集數(shù)據(jù)和觀察對比分析，并借助已有的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行大膽猜想，提出假說，進(jìn)而論證假設(shè)的真?zhèn)涡?在這一過程中，既發(fā)揮了教師在教學(xué)中主導(dǎo)作用，又體現(xiàn)了學(xué)生是課堂教學(xué)的主體.師生通過合作學(xué)習(xí)，共同探究，不僅增近了師生之間的情感交流，同時(shí)也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升了自身的認(rèn)知水平，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)創(chuàng)造的艱辛歷程，并積累了豐富的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

　　三、數(shù)學(xué)分析課程探究教學(xué)的反思與建議

　　1.創(chuàng)設(shè)合理有效的問題情境，為學(xué)生營造良好的數(shù)學(xué)思維氛圍.合理有效地創(chuàng)設(shè)問題情境，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會(huì)思考，因此，數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)應(yīng)盡可能開展“情景―問題”探究式教學(xué)活動(dòng)，教師通過設(shè)置一些能夠與學(xué)生認(rèn)知產(chǎn)生沖突的情境問題，將學(xué)生置身于探究未知問題的氣氛中，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，從而形成學(xué)生積極思考的良好課堂氛圍.

　　2.開展探究教學(xué)活動(dòng)要以教材為核心，做到循序漸進(jìn)，問題解決方案多元化.數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)由于學(xué)習(xí)內(nèi)容比較抽象，學(xué)時(shí)又有限，所以在開展探究式教學(xué)活動(dòng)中，教師要以教材為核心，重點(diǎn)突出基本概念與定理，并且教學(xué)過程中所設(shè)置的問題要適中，難度有層次性，能夠形成問題鏈.問題提出循序漸進(jìn)，能夠體現(xiàn)思維水平由低到高的發(fā)展過程，此外，探究問題的解決方案盡可能多元化，學(xué)生在思考問題時(shí)可以從多角度、多方向、多途徑尋找切入點(diǎn)，提出多種新穎的見解，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng).

　　3.引導(dǎo)學(xué)生多回顧與反思，形成新的認(rèn)知水平.回顧與反思有利于學(xué)生養(yǎng)成“回到概念去”思考和解決問題的習(xí)慣，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題及其解答的來龍去脈，有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，方法和理論之間的廣泛聯(lián)系，有利于發(fā)現(xiàn)許多相關(guān)結(jié)果中的交匯點(diǎn).[9]因此，教師在教學(xué)過程中，要多鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行反思，多聯(lián)系知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，通過反思與總結(jié)去改編，引申或者推廣已有的問題和結(jié)論，進(jìn)而產(chǎn)生新的問題，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1]寧連華.數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006，15(4)：39-51.

　　[2]曾小平，汪秉彝，呂傳漢.數(shù)學(xué)“情境―問題”教學(xué)對數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18(1)：82-87.

　　[3]郭宗雨.在高中數(shù)學(xué)課堂中開展自主合作探究教學(xué)的實(shí)踐研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21(5)：41-44.

　　[4]徐章韜，梅全雄.論基于課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22(6)：1-4.

　　[5]張楚廷.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：警官教育出版社，1998.

　　[6]曹才翰.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1990.

　　[7]王光明，楊蕊.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“懂而不會(huì)”現(xiàn)象[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012，(10).

　　[8]波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].李心燦，譯.北京：科學(xué)出版社，1985.

　　[9]徐彥輝.數(shù)學(xué)解題后的“回顧與反思”與數(shù)學(xué)問題的提出――探究一種通過“回顧與反思”來提出數(shù)學(xué)問題的模式與方法[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24(1)：9-12.

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