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線性規劃的教學模式
線性規劃的教學模式【1】
摘要：線性規劃是運籌學的核心內容，求解線性規劃的單純形法在理論上已趨于成熟，應用也越來越廣泛。
為了使學生更容易、更深刻地理解這種算法及其理論基礎，本文給出了一種循序漸進的教學模式。
這種模式也適用于運籌學其他內容的教學。
關鍵詞：單純形法;循序漸進;教學模式
運籌學是二戰期間發展起來的一門應用學科，它廣泛應用現有的科學技術知識和數學方法，解決實際中提出的一些問題，為決策者選擇最優策略提供定量依據，其內容包括：規劃論(線性規劃、非線性規劃、整數規劃、動態規劃、多目標規劃等)、圖論與網絡分析、對策論、排隊論、存儲論、決策論、排序與統籌方法等[1]。
運籌學的實際應用涉及生產計劃、運輸問題、人事管理、庫存管理、市場營銷、財務和會計等方面。
另外，還應用于設備維修、更新和可靠性分析，項目的選擇與評價、工程優化設計、環境保護等問題中。
據統計，50%數學建模問題與運籌學內容相關，可以用運籌學的方法解決。
另外，為各大高校數次爭得榮譽的建模隊伍，長期以來一直接受運籌學相關知識的培訓。
運籌學中最主要的分支是線性規劃。
線性規劃模型是前蘇聯著名經濟學家康托羅維奇于1939年提出的，這一重大發現使他獲得了諾貝爾經濟學獎。
1947年G.B.Dantzig提出求解線性規劃的單純形法。
針對退化問題，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]給出了攝動法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法則，這些方法都能避免循環發生。
線性規劃理論上已趨于成熟，應用也越來越廣泛。
事實上，運籌學中許多問題都可以或需要用線性規劃模型來描述或近似地描述，如運輸問題――求解運輸問題的表上作業法本質上就是單純形法，并且這種方法充分展示了單純形法的魅力。
求最短路、最小費用最大流的問題都可以用線性規劃模型來解決。
求解指派問題的匈牙利法本質上也是單純形法[5]。
矩陣對策問題最后轉化成求解線性規劃。
學習運籌學的先修課程主要有線性代數、微積分、概率論與數理統計。
事實上，運籌學不僅應用了這些學科，也從理論上進一步發展了這些學科。
單純形法是建立在一系列理論基礎之上的。
首先，如果線性規劃的可行域非空，則它是一個凸集，這個結論很容易證明。
線性規劃的可行域的頂點與基可行解之間是一一對應的，所以其頂點個數有限，這個結論與單純形法的關系不大，其證明可以省略。
其次，線性規劃若有可行解，則一定有基可行解，這個結論是很重要的，為了更好地理解它的證明，我們先看下面的例子。
進一步講，若線性規劃有最優解，其最優解一定可以在其可行域的頂點上找到，也就是在其基可行解中找到，這樣就把一個從無限個可行解中找最優轉化成在有限個可行解中找最優。
這是單純形法的理論基礎。
為了更好地理解這一重要結論的證明，我們看下一個例子。
X2的正分量的個數是2。
由于P2，P4線性無關，所以X2是基可行解。
這樣我們就找到了一個最優解也是基可行解。
一般地，若X2的正分量對應的系數列與線性相關，繼續上述過程，直到找到基可行解為止。
從基可行解中找最優解所用的方法是單純形迭代法。
那么，如何判斷一個線性規劃是否有最優解?如何判斷一個基可行解是否是最優解?在一個基可行解不是最優的情況下如何迭代到下一個與其相鄰的更好的基可行解?為回答這些問題，我們舉例說明。
先講特例再引入最優性判別定理、基可行解的改進定理以及單純形法的迭代步驟，學生就容易理解。
即使針對有些專業的學生講解這些定理的證明，也容易接受。
總之，現代社會信息量大，大學生需要學習的課程很多，用于預習或復習的時間就很少，這樣上課時間就尤為珍貴，教師應該如何講，才能使學生當堂聽明白所授內容，這是一個必須思考的問題。
其實，運籌學這門學科更側重的是應用，數學理論并不難，之所以有人覺得難學，是因為沒有把握一種好的學習方法。
本文針對單純形法給出了一種循序漸進的教學模式，實踐證明這種模式能使學生更容易的理解課堂內容，有利于激發學生的自信心和學習興趣，使學生在輕松掌握數學理論的基礎上，能更好地探討運籌學的經典案例的建模和求解，加強學生運用所學知識解決實際問題的能力和創新能力。
參考文獻：
[1]《運籌學》教材編寫組.運籌學[M].北京：清華大學出版社，2004.
[2]Charnes，A.And Cooper W.W.，The stepping stone method of explaining linear programming calculations in thansportation problems，Management Science，1954，(1)：49-69.
[3]Dantzig，G.B.，Orden.A.and Wolfe.P.，Note on linear programming，Pacific J.Math.1955，(5)：183-195.
[4]Bland，G.G.，New finite pivoting rules of Simplex method，Math.Of Operations Research，1977，(2)：103-107.
[5]Hamdy，A.Taha，Operations Research-An Introduction[M].北京：人民郵電出版社，2007.
線性規劃課程教學【2】
摘要：目前，各高校經管類專業大都開設了線性規劃或運籌學等相關課程。
本文結合線性規劃課程的教學實踐，闡述了線性規劃課程教學改革中的幾點體會。
關鍵詞：線性規劃;激發動力;多媒體;網絡教學
線性規劃是經濟管理類專業一門重要的專業基礎課，是線性代數后續基礎課之一，是運籌學中研究較早且相對比較成熟的一個重要分支。
它是由于社會發展的需要而產生和發展的。
上世紀30年代末40年代初，康托洛維奇等在生產組織和運輸問題等方面開始研究應用線性規劃這一數學方法[1];1947年美國數學家Dantzing提出的單純形方法從理論上為線性規劃奠定了基礎。
它廣泛應用現有的科學技術知識和數學方法，解決實際中提出的專門問題，為決策者選擇最優決策提供定量依據。
現如今，線性規劃已廣泛應用于工業、農業、商業、國防、交通運輸、能源、水利、經濟、管理決策等眾多領域，它可以解決各行業中的最優計劃、最優分配、最優管理、最優決策等最優問題。
通過本課程的學習，使學生掌握線性規劃的主要模型、基本理論、主要算法，并能將這些理論和方法應用于實際問題，培養學生的邏輯思維能力和分析、解決問題的能力，從而為學生今后進一步深造以及從事經濟管理方向的學習和研究工作打下堅實的基礎，提高學生運用所學知識解決實際問題的能力。
下面就筆者的一些教學實踐，淺談一下線性規劃這門課程課堂教學的幾點體會。
1.合理安排教學內容，激發學生的學習動力
首先，線性規劃是線性代數的后續課程之一，課程中要用到很多線性代數的知識，比如，矩陣、矩陣的秩、矩陣的運算、矩陣的初等變換、向量組的相關性、無關性、線性方程組的求解等等。
因此，我們在講解線性規劃課程的內容之前，首先要幫助學生復習鞏固線性代數中學過的內容。
雖然這樣會加重本課程的教學任務，但是只有代數中的這些內容理解透徹了，線性規劃課程中的單純形方法等知識才能真正地理解其中的原理，才能做到"知其然，更知其所以然"，而不是死記硬背、"依葫蘆畫瓢"。
其次，提高學生的學習熱情，激發學生的學習動力是學生學號一門課程的前提之一。
提到數學課程，大多數的學生的第一反映是理論性強、很抽象、難掌握。
我們課程的第一部分是線性規劃問題的數學模型，課本上出于知識的系統性和嚴謹性的考慮，先給出的往往是變量很多、表達復雜的抽象的模型，這些太抽象太復雜的內容會使學生認為這門課程很高深、難聽懂而產生挫敗感，進而使學生在這門課程中的學習動力大打折扣。
因此，我們授課時不妨可以先從一個貼近我們生活的實例出發，建立一個簡單且容易理解的線性規劃模型。
如下面這個問題[2]：某工廠在計劃期內安排生產甲、乙兩種產品。
已知生產兩種產品所需的設備臺時及A，B兩種原材料的消耗、設備及兩種原材料的現有量、單位產品的利潤如下表：問：應如何安排生產計劃，才使獲利最多?
這是生產組織與計劃問題中的一個很典型、實際生活中也很常見的問題，經過簡單的提示，學生們完全可以自己建立出該問題的數學模型。
解：設生產甲乙兩種產品分別為x1，x2單位。
maxS=2x1+3x2
x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1，x2≥0
再根據高中時期學過的圖解法，我們還可以求出最優的生產方案：生產甲4單位，生產乙2單位時，可獲得最大利潤S=14元。
于是，我們可以告訴學生，我們這就已經解決了一個比較簡單的線性規劃問題了。
這樣一來，學生在獲得成就感的同時，也發現了這門課程并非像想像中的那樣深不可測，是完全可以掌握好的，也就激發了學生學習的熱情和動力。
2.傳統的板書教學應與多媒體教學相結合
傳統的數學課堂采用的是黑板加板書的授課方式。
但是隨著信息化技術的不斷發展，多媒體技術作為一種新的教育形式和現代化的教學手段，被廣泛應用到我們的日常教學工作中。
現在越來越多的數學課程也都采用多媒體的授課方式了。
就線性規劃這門課程而言，采用多媒體技術進行授課有以下優點：
(1)采用多媒體教學能夠省掉很多重復勞動
比如，我們講解圖解法時，最優解存在有唯一的最優解和存在無窮多最優解的情況，我們可以以下面這兩個題目為例來講解：
�、賛axS=2x1+3x2 ②maxS=2x1+4x2
x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1，x2≥0 x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1，x2≥0
問題①存在唯一的最優解，問題②存在無窮多最優解，但是這兩個問題的約束條件相同，因此，兩者的可行域是完全相同的。
板書教學時，如果我們在同一個圖形中求解會是圖形看起來雜亂、不清晰，如果畫兩個圖形求解，既占用了黑板的版面，也浪費了課堂時間。
但是如果我們采用多媒體形式的話，首先，軟件繪制的圖形要比我們教師手繪的圖形精確的多，什么情況下取到最優解，學生可以看得一目了然;再者，課件上的圖形比黑板上的圖形要干凈清晰很多，因此，這兩個題目在一個圖形中求解也不會顯得雜亂，同時也更方便學生對這兩種最優解的情況進行比較。
(2)多媒體教學能夠豐富課堂內容，提高教學效率
比如，我們每門課程的第一次課，教師大都會介紹該課程的發展歷史、研究現狀及相關課程的背景知識來激發學生的學習興趣。
在講解線性規劃課程的內容前，我們可以介紹一下運籌學的主要分支及研究內容，尤其是與實際生活息息相關或日常生活中常見的一些問題。
這些內容如果我們全部板書，學生可以了解的比較清楚，但是信息量太大，會占用太多的課堂時間;如果只是口述，時間占用少了，但是學生會聽的云里霧里。
多媒體的授課方式就可以很好地解決這兩者的矛盾，如果我們將這些內容制作成精美的多媒體課件展現給學生，學生的印象就非常直觀，我們講解后，學生就會了解到線性規劃乃至整個運籌學都是解決實際問題的學科，是日常生活很多決策問題需要依賴的學科，可是他們日后工作中可能會用到的學科，這樣一來，就激發了學生學習的興趣和動力。
因此，多媒體教學既豐富了課堂內容，又沒有過多的占用課堂時間，提高了教學效率。
我們在享受多媒體技術給我們帶來的便利的同時，也要注意到全程多媒體的授課方式也存在著一些不足之處：
(1)過度使用多媒體會模糊教師在課堂中的主體地位，我們不能讓我們的課堂變成一個"影院"，多媒體課件變為屏幕，教師變身為電影放映員，而學生則變成了看電影的觀眾。
觀眾看完一場電影后能夠記住全部情節的有多少，能夠對情節內容反思的又有多少。
同樣地，如果只是教師點鼠標，學生看幻燈片，這樣一堂全程多媒體的課堂下來，學生中能夠記住所講知識的能有幾人，對所講知識進行思考、分析的又能有幾人，答案不言而喻。
(2)全程多媒體講解會加重學生的負擔。
教師在課前做好了多媒體課件，一堂課45分鐘，多媒體課件呈現的內容要比傳統板書講到的內容多得多，這就要求學生長時間保持精力集中，這實際上對學生的要求是比較高的。
同時，由于多媒體授課內容多，信息量大，很多學生可能連筆記都不能記完整，更談不上消化、思考了。
因此，我們在授課時應將多媒體教學與傳統板書教學相結合，發揮各自的優勢，提高教學效果。
一些抽象的概念、圖解法等內容我們可以采取多媒體的方式講解，一些理論的推導等我們可以采用板書的方式詳細講解，有時我們還可以采用板書加多媒體的形式，比如我們講解單純形方法時，有些題目迭代次數較多，全程板書會浪費大量的課堂時間，我們可以在第一步迭代時用板書的形式詳細講解每一個步驟及每一個數據的求解方法，力求學生理解掌握迭代的過程，之后的迭代原理和方法就同第一步迭代是相同的，只是數據不同而已，這時我們就可以采用多媒體的形式講解，避免了重復工作，節省了課堂時間，提高了課堂效率。
3.充分利用網絡資源，加強師生之間的交流
現在很多學校都建立了網絡教學平臺，我們可以將我們的授課計劃、教案、多媒體課件等教學資料上傳至網絡教學平臺，學生可以隨時隨地的查閱課程進度情況、各章節的重點難點提示，通過多媒體課件還可以補充課堂上筆記沒有記全或沒有記清的部分，教師也可以通過網絡教學平臺給學生布置課后作業、解答學生的提問等。
另外，我們還可以每一個教學班建立一個QQ群，教師可以通過QQ群與學生進行在線交流，及時了解學生對課程的掌握情況以及學生的需求，也可以在能夠講解清楚的情況下對學生的提問進行解答。
參考文獻：
[1] 胡富昌. 經濟應用數學基礎(四)線性規劃(修訂本)[M].北京：中國人民大學出版社，1991.5
[2] 《運籌學》教材編寫組. 運籌學(修訂版)[M].北京：清華大學出版社，2001.2
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