淺談幾類特殊函數的性質及應用

　　想必大家對數學函數都不陌生，但是有幾類特殊的函數大家認識嗎?下面就跟小編一起來看看這幾類特殊函數的性質及應用吧!

　　【摘要】本文將對數學分析中特殊函數，諸如伽瑪函數、貝塔函數貝塞爾函數等超幾何數列函數，具有特殊的性質和特點，在現實中得到大量的運用的函數。本文主要以簡單介紹以上三種特殊函數性質，及其在其它領域的應用，諸如利用特殊函數求積分，利用特殊函數解相關物理學問題。本文首先以回顧學習幾類常見特殊函數概念、性質，從而加深讀者理解，然后以相關實例進行具體分析，從而達到靈活應用的目的。

　　【關鍵詞】特殊函數;性質;應用;伽馬函數;貝塔函數;貝塞爾函數;積分

　　1.引言

　　特殊函數是指一些具有特定性質的函數，一般有約定俗成的名稱和記號，例如伽瑪函數、貝塔函數、貝塞爾函數等。它們在數學分析、泛函分析、物理研究、工程應用中有著舉足輕重的地位。許多特殊函數是微分方程的解或基本函數的積分，因此積分表中常常會出現特殊函數，特殊函數的定義中也經常會出現積分。傳統上對特殊函數的分析主要基于對其的數值展開基礎上。隨著電子計算的發展，這個領域內開創了新的研究方法。

　　由于特殊函數是數學分析中的一種重要工具，因此特殊函數的學習及應用非常重要。本文歸納出特殊函數性質、利用特殊函數在求積分運算中的應用、特殊函數在物理學科方面的應用，利用Matlab軟件畫出一些特殊函數的圖形，主要包含內容有：定義性質學習，作積分運算，物理知識中的應用，并結合具體例題進行了詳細的探究和證明。

　　2.特殊函數定義及性質證明

　　特殊函數學習是數學分析的一大難點,又是一大重點,求特殊函數包含很多知識點,有很多技巧,教學中可引導學生以探究學習的方式進行歸納、總結;一方面可提高學生求函數極限的技能、技巧;另一方面也可培養學生的觀察、分析、歸類的能力,對學生的學習、思考習慣,很有益處。

　　特殊函數性質學習及其相關計算，由于題型多變，方法多樣，技巧性強，加上無固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個問題的途徑主要在于熟練掌握特殊函數的特性和一些基本方法。下面結合具體例題來探究特殊函數相關性質及應用。

　　2.1伽馬函數的性質及應用

　　2.1.1伽馬函數的定義：

　　伽馬函數通常定義是：這個定義只適用于的區域，因為這是積分在t=0處收斂的條件。已知函數的定義域是區間，下面討論Г函數的兩個性質。

　　2.1.2Г函數在區間連續。

　　事實上，已知假積分與無窮積分都收斂，則無窮積分在區間一致收斂。而被積函數在區間D連續。Г函數在區間連續。于是，Г函數在點z連續。因為z是區間任意一點，所以Г函數在區間連續。

　　2.1.3，伽馬函數的遞推公式

　　此關系可由原定義式換部積分法證明如下：

　　這說明在z為正整數n時，就是階乘。

　　由公式(4)看出是一半純函數，在有限區域內的奇點都是一階極點，極點為z=0,-1,-2,...,-n,....

　　2.1.4用Г函數求積分

　　2.2貝塔函數的性質及應用

　　2.2.1貝塔函數的定義：

　　函數稱為B函數(貝塔函數)。

　　已知的定義域是區域，下面討論的三個性質：

　　貝塔函數的性質

　　2.2.2對稱性：=。事實上，設有

　　2.2.3遞推公式：，有事實上，由分部積分公式，，有

　　即

　　由對稱性，

　　特別地，逐次應用遞推公式，有

　　而，即

　　當時，有

　　此公式表明，盡管B函數與Г函數的定義在形式上沒有關系，但它們之間卻有著內在的聯系。這個公式可推廣為

　　2.2.4

　　由上式得以下幾個簡單公式：

　　2.2.5用貝塔函數求積分

　　例2.2.1

　　解：設有

　　(因是偶函數)

　　例2.2.2貝塔函數在重積分中的應用

　　計算，其中是由及這三條直線所圍成的閉區域，

　　解：作變換且這個變換將區域映照成正方形：。于是

　　通過在計算過程中使用函數，使得用一般方法求原函數較難的問題得以輕松解決。

　　2.3貝塞爾函數的性質及應用

　　2.3.1貝塞爾函數的定義

　　貝塞爾函數：二階系數線性常微分方程稱為λ階的貝塞爾方程，其中y是x的未知函數，λ是任一實數。

　　2.3.2貝塞爾函數的遞推公式

　　在式(5)、(6)中消去則得式3，消去則得式4

　　特別，當n為整數時，由式(3)和(4)得：

　　以此類推，可知當n為正整數時，可由和表示。

　　又因為

　　以此類推，可知也可用和表示。所以當n為整數時，和都可由和表示。

　　2.3.3為半奇數貝塞爾函數是初等函數

　　證：由Г函數的性質知

　　由遞推公式知

　　一般，有

　　其中表示n個算符的連續作用，例如

　　由以上關系可見，半奇數階的貝塞爾函數(n為正整數)都是初等函數。

　　2.3.4貝塞爾函數在物理學科的應用：

　　頻譜有限函數新的快速收斂的取樣定理，.根據具體問題，利用卷積的方法還可以調節收斂速度，達到預期效果，并且計算亦不太復雜。由一個函數的離散取樣值重建該函數的取樣定理是通信技術中必不可少的工具，令

　　稱為的Fourier變換。它的逆變換是

　　若存在一個正數b，當是b頻譜有限的。對于此類函數，只要取樣間隔，則有離散取樣值(這里z表示一切整數：0,)可以重建函數，

　　這就是Shannon取樣定理。Shannon取樣定理中的母函數是

　　由于Shannon取樣定理收斂速度不夠快，若當這時允許的最大取樣間隔特征函數Fourier變換：

　　以下取樣方法把貝塞爾函數引進取樣定理，其特點是收斂速度快，且可根據實際問題調節收斂速度，這樣就可以由不太多的取樣值較為精確地確定函數。

　　首先建立取樣定理

　　設：

　　其中是零階貝塞爾函數。構造函數：

　　令

　　經計算：

　　利用分部積分法，并考慮到所以的Fourier變換。

　　通過函數卷積法，可加快收斂速度，使依據具體問題，適當選取N，以達到預期效果，此種可調節的取樣定理，計算量沒有增加很多。取：

　　類似地

　　經計算：

　　經計算得：

　　則有：設是的Fourier變換，

　　記則由離散取樣值

　　因為，故該取樣定理收斂速度加快是不言而喻的，通過比較得，計算量并沒有加大，而且N可控制收斂速度。

　　例2.4，利用

　　引理：當

　　當

　　因為不能用初等函數表示，所以在求定積分的值時，牛頓-萊布尼茨公式不能使用，故使用如下計算公式

　　首先證明函數滿足狄利克雷充分條件，在區間上傅立葉級數展開式為：

　　(1)

　　其中

　　函數的冪級數展開式為：

　　則關于冪級數展開式為： (2)

　　由引理及(2)可得

　　(3)

　　由階修正貝塞爾函數

　　其中函數，且當為正整數時，取，則(3)可化為

　　(4)

　　通過(1)(4)比較系數得

　　又由被積函數為偶函數，所以

　　公式得證。

　　3.結束語

　　本文是關于特殊函數性質學習及其相關計算的探討，通過對特殊函數性質的學習及其相關計算的歸納可以更好的掌握特殊函數在日常學習中遇到相關交叉學科時應用，并且針對不同的實例能夠應用不同的特殊函數相關性質進行證明、計算，從而更加簡潔，更加合理的利用特殊函數求解相關問題。有些特殊函數的應用不是固定的，它可以通過不止一種方法來證明和計算，解題時應通過觀察題目結構和類型，選用一種最簡捷的方法來解題。

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